33-34 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação no intervalo dado.
34. e^{-x^{2}}=x, \quad(0,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
e^{-x^{2}} = x
tem pelo menos uma solução em (0,1) usando o Teorema do Valor Intermediário. Para isso, definimos a função
f(x) = e^{-x^{2}} - x
e vamos verificar suas propriedades no intervalo fechado [0,1].

Passo 2

Observamos que e^{-x^{2}} é composição de funções exponencial e polinomial, ambas contínuas em \mathbb{R}, e x também é contínua. Logo,
f(x) = e^{-x^{2}} - x
é contínua em [0,1].

Passo 3

Calculamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(0) = e^{0} - 0 = 1 > 0,
f(1) = e^{-1} - 1 \approx 0{,}3679 - 1 = -0{,}6321 < 0.
Como f(0) e f(1) têm sinais opostos, há variação de sinal em [0,1].

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que muda de sinal em um intervalo fechado possui pelo menos uma raiz nesse intervalo aberto. Portanto, existe c\in(0,1) tal que
f\text{(c)}=0,
isto é,
e^{-c^{2}} = c.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação e^{-x^{2}}=x em (0,1).

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