33-34 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação no intervalo dado.
34.
34.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução em
usando o Teorema do Valor Intermediário. Para isso, definimos a função
e vamos verificar suas propriedades no intervalo fechado
.
Passo 2
Observamos que
é composição de funções exponencial e polinomial, ambas contínuas em
, e
também é contínua. Logo,
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos os valores de
nas extremidades do intervalo:
Como
e
têm sinais opostos, há variação de sinal em
.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que muda de sinal em um intervalo fechado possui pelo menos uma raiz nesse intervalo aberto. Portanto, existe
tal que
isto é,
Resposta
Existe pelo menos uma raiz da equação
em
.