33-34 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação no intervalo dado.
33. 2 x^{3}+x^{2}+2=0, \quad(-2,-1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema do Valor Intermediário, que a equação
2x^{3}+x^{2}+2=0
possui pelo menos uma raiz em (-2,-1). Aqui o conteúdo é o Teorema do Valor Intermediário aplicado a funções contínuas.

Passo 2

Definimos f(x)=2x^{3}+x^{2}+2. Como f é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo \mathbb{R}, logo especialmente no intervalo [-2,-1].

Passo 3

Calculamos o valor de f em x=-2:
f(-2)=2(-2)^{3}+(-2)^{2}+2=-16+4+2=-10.
Portanto, f(-2)=-10<0.

Passo 4

Calculamos o valor de f em x=-1:
f(-1)=2(-1)^{3}+(-1)^{2}+2=-2+1+2=1.
Portanto, f(-1)=1>0.

Passo 5

Observamos que f(-2) é negativo e f(-1) é positivo, ou seja,
f(-2)\cdot f(-1)<0.
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos c\in(-2,-1) tal que f\text{(c)}=0.

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz de 2x^{3}+x^{2}+2=0 no intervalo (-2,-1).

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