31-34 Determine se o conjunto dado 6 ou nāo: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo.
31. (x, y) mid y<x^2

Passo 1

O enunciado pede para o conjunto
S = (x,y)mid y < x^2subsetR^2
verificar se ele é
(a) aberto,
(b) conexo por caminhos,
(c) simplesmente conexo.
Vamos usar que f(x,y)=y-x^2 é contínua, construir caminhos por partes e definir homotopias que contraiam qualquer laço a um ponto em S.

Passo 2

Para mostrar que S é aberto, note que
S = f^-1l((-infty,0)r),
e como (-infty,0)subsetR é aberto e f é contínua, o conjunto S é aberto.

Passo 3

Sejam P=(x1,y1) e Q=(x2,y2) dois pontos de S. Então yi<xi^2 para i=1,2. Defina
de<a = min,x1^2-y1,;x2^2-y2>0, y0 = miny1,y2 - tfracde<a2
Então y0 < yi < xi^2, logo os segmentos verticais de (xi,yi) a (xi,y0) ficam em S. Agora escolha
X = maxl|x1|,|x2|r + 1,
de modo que, para todo x entre xi e X, tenha |x|>=|xi| e assim x^2>= xi^2>y0.
Portanto os trechos horizontais de (xi,y0) a (X,y0) ficam em S. Finalmente suba verticalmente de (X,y0) a (xj,yj).
Concatenando esses quatro pedaços obtemos um caminho contínuo de P a Q todo contido em S. Logo S é conexo por caminhos.

Passo 4

Para ver que S é simplesmente conexo, seja gammacolon[0,1]to S um laço ( gamma(0)=gamma(1)). Defina
m = mintin[0,1]l(gammay(t)r), epsilon = mintin[0,1]l(x(t)^2 - gammay(t)r)>0, y0 = m - epsilon2
Como gammay(t)>y0 e gammay(t)<x(t)^2 para todo t, consideramos a homotopia vertical
H1(t,s) = l(x(t),,(1-s),gammay(t)+s,y0r)
Para cada s,
(1-s)gammay(t)+s y0 <= gammay(t) < x(t)^2,
logo H1 permanece em S e em s=1 colapsa o laço sobre o conjunto
(x,y0)mid y0<x^2. A imagem H1(cdot,1) é um laço sobre essa linha horizontal, que é
xmid x^2>y0=(-infty,-raizy0)cup(raizy0,infty).
Como essa imagem é conexa, ela fica contida numa dessas duas componentes, digamos (raizy0,infty).
Nessa componente, podemos contrair o laço a um ponto fixo X* usando a homotopia horizontal
H2(t,u) = l((1-u)x(t) + u,X*,;y0r),
e como para todo u e t temos l((1-u)x(t)+uX*r)^2>= y0, o caminho fica em S.
Com isso a composição H2circ H1 é uma homotopia que leva gamma ao laço constante em S. Logo todo laço em S é contrátil e S é simplesmente conexo.

Resposta

(a) Aberto.
(b) Conexo por caminhos.
(c) Simplesmente conexo.

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