31-34 Determine se o conjunto dado 6 ou nāo: (a) aberto, (b) conexo por caminhos e (c) simplesmente conexo.
31.
31.
Passo 1
O enunciado pede para o conjunto
verificar se ele é
(a) aberto,
(b) conexo por caminhos,
(c) simplesmente conexo.
Vamos usar que é contínua, construir caminhos por partes e definir homotopias que contraiam qualquer laço a um ponto em
.
(a) aberto,
(b) conexo por caminhos,
(c) simplesmente conexo.
Vamos usar que
Passo 2
Para mostrar que
é aberto, note que
e como
é aberto e
é contínua, o conjunto
é aberto.
Passo 3
Sejam
e
dois pontos de
. Então
para
. Defina
Então
, logo os segmentos verticais de
a
ficam em
. Agora escolha
de modo que, para todo
entre
e
, tenha
e assim
.
Portanto os trechos horizontais de a
ficam em
. Finalmente suba verticalmente de
a
.
Concatenando esses quatro pedaços obtemos um caminho contínuo de a
todo contido em
. Logo
é conexo por caminhos.
Portanto os trechos horizontais de
Concatenando esses quatro pedaços obtemos um caminho contínuo de
Passo 4
Para ver que
é simplesmente conexo, seja
um laço (
). Defina
Como
e
para todo
, consideramos a homotopia vertical
Para cada
,
,
logo permanece em
e em
colapsa o laço sobre o conjunto
. A imagem
é um laço sobre essa linha horizontal, que é
.
Como essa imagem é conexa, ela fica contida numa dessas duas componentes, digamos .
Nessa componente, podemos contrair o laço a um ponto fixo usando a homotopia horizontal
logo
Como essa imagem é conexa, ela fica contida numa dessas duas componentes, digamos
Nessa componente, podemos contrair o laço a um ponto fixo
e como para todo
e
temos
, o caminho fica em
.
Com isso a composição é uma homotopia que leva
ao laço constante em
. Logo todo laço em
é contrátil e
é simplesmente conexo.
Com isso a composição
Resposta
(a) Aberto.
(b) Conexo por caminhos.
(c) Simplesmente conexo.
(b) Conexo por caminhos.
(c) Simplesmente conexo.