Calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada, usando séries.
Passo 1
O enunciado pede para calcular com três casas decimais a integral
usando desenvolvimento em séries. O conteúdo da matéria é a expansão em série de Taylor (ou Maclaurin) da função
, e a ideia é trocar a integral por uma soma infinita de integrais de potências que damos conta explicitamente.
Passo 2
Lembramos que, para
,
Aqui tomamos
, o que dá
Passo 3
Integramos termo a termo de
a
:
Como
ficamos com a série
Passo 4
Observamos que essa soma é alternada e que os termos em valor absoluto
são decrescentes para
e tendem a zero. Pelo critério de série alternada (Leibniz), o erro ao truncar após
termos tem módulo no máximo igual ao próximo termo
. Para garantir precisão de três casas decimais no arredondamento, basta tomar
tal que
Resolvendo aproximadamente
, obtemos
.
Passo 5
Calculamos numericamente os primeiros 17 termos (
até
) e somamos:
O próximo termo em módulo é
o que garante erro abaixo de
. Assim, ao arredondar
às três casas decimais, obtemos o valor de
.