Calcule com precisão de três casas decimais o valor da integral dada, usando séries.
integral0^1 arctg(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular com três casas decimais a integral
I = integral0^1 arctanl(x^2r),dx
usando desenvolvimento em séries. O conteúdo da matéria é a expansão em série de Taylor (ou Maclaurin) da função arctan u, e a ideia é trocar a integral por uma soma infinita de integrais de potências que damos conta explicitamente.

Passo 2

Lembramos que, para |u|<=1,
arctan u = sumn=0^infty (-1)^n,u^2n+12n+1
Aqui tomamos u = x^2, o que dá
arctanl(x^2r) = sumn=0^infty (-1)^n,x^2(2n+1)2n+1 = sumn=0^infty (-1)^n,x^4n+22n+1

Passo 3

Integramos termo a termo de x=0 a x=1:
I = integral0^1 arctanl(x^2r),dx = sumn=0^infty (-1)^n,12n+1 integral0^1 x^4n+2,dx
Como
integral0^1 x^4n+2,dx = 14n+3,
ficamos com a série
I = sumn=0^infty (-1)^n,1(2n+1),(4n+3)

Passo 4

Observamos que essa soma é alternada e que os termos em valor absoluto
an = 1(2n+1)(4n+3)
são decrescentes para n>=0 e tendem a zero. Pelo critério de série alternada (Leibniz), o erro ao truncar após N termos tem módulo no máximo igual ao próximo termo aN+1. Para garantir precisão de três casas decimais no arredondamento, basta tomar N tal que
aN+1 < 5times10^-4
Resolvendo aproximadamente 1/[(2N+3)(4N+7)]<0,0005, obtemos N=16.

Passo 5

Calculamos numericamente os primeiros 17 termos ( n=0 até n=16) e somamos:
S16 = sumn=0^16 (-1)^n,1(2n+1)(4n+3) approx 0,298116
O próximo termo em módulo é
a17 = 1(35)(71) approx 4,02times10^-4 < 5times10^-4,
o que garante erro abaixo de 0,0005. Assim, ao arredondar S16 às três casas decimais, obtemos o valor de I.

Resposta

0,298

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