Teste a série quanto a convergência ou divergência
sumn=1^infty n!2.5 8 ldots(3 n+2)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftyn!2cdot5cdot8cdots(3n+2)
O conteúdo principal aqui é o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Defina
an = n!2cdot5cdot8cdots(3n+2)
Pelo teste da razão, calculamos
limntoinftyan+1an

Passo 3

Escrevendo an+1 temos
an+1 =(n+1)!2cdot5cdot8cdots(3n+2)cdot(3(n+1)+2) =(n+1),n!l(2cdot5cdot8cdots(3n+2)r),(3n+5)
Logo a razão telescopa quase tudo:
an+1an =(n+1),n!l(2cdot5cdotcdots(3n+2)r),(3n+5) ;g/; n!2cdot5cdots(3n+2) =n+13n+5

Passo 4

Agora calculamos o limite da razão:
limntoinftyan+1an =limntoinftyn+13n+5 =13
Como esse limite é menor que 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge, pois pelo teste da razão obtivemos limntoinftyan+1/an=1/3<1.

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