32- O ácido benzoico tem um \mathrm{Ka}=6,6 \times 10^{-5}. Calcule a concentração de \mathrm{H}^{+}e o pH de uma solução de 726 ml que contém 0,288 \mathrm{~mol} de ácido benzoico.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Constante de acidez: \mathrm{Ka}=6,6\times10^{-5}.
    • Volume da solução: V=726\\ \text{mL}=0,726\\ \text{L}.
    • quantidade de ácido benzoico: n=0,288\\ \text{mol}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a concentração de \mathrm{H}^{+} na solução, isto é [\mathrm{H}^{+}].
    • Calcular o pH da solução.

Passo 2

Calcular a concentração inicial do ácido (antes da dissociação), isto é a concentração molar total inicial [HA]_0.
  • Fórmula: [HA]_0=\dfrac{n}{V}, onde n é o número de mols e V o volume em litros.
  • Substituindo os valores:
[HA]_0=\dfrac{0,288}{0,726}
  • Efetuando a divisão:
[HA]_0\approx0,3967\\ \text{M}.
Explicação curta: isso significa que, se nada tivesse dissociado, haveria aproximadamente \,0,3967\\ \text{mol} de ácido por litro.

Passo 3

Escrever a reação de ionização e a expressão da constante \mathrm{Ka}; explicar o que cada termo significa.
  • Reação de ionização do ácido fraco (ácido benzoico, HA):
HA \rightleftharpoons H^{+} + A^{-}
  • Definição de \mathrm{Ka}:
\mathrm{Ka}=\dfrac{[H^{+}][A^{-}]}{[HA]}
onde
  • [H^{+}] é a concentração de íons hidrogênio no equilíbrio;
  • [A^{-}] é a concentração do ânion conjugado no equilíbrio;
  • [HA] é a concentração do ácido não dissociado no equilíbrio.

Passo 4

Montar as concentrações em equilíbrio usando uma variável e montar a equação para resolver.
  • Seja x a concentração de \mathrm{H}^{+} gerada pela dissociação no equilíbrio; assumimos que [\mathrm{H}^{+}]=[\mathrm{A}^{-}]=x.
  • Então as concentrações em equilíbrio ficam:
    • [H^{+}]=x,
    • [A^{-}]=x,
    • [HA]=[HA]_0-x.
  • Substituindo na expressão de \mathrm{Ka}:
\mathrm{Ka}=\dfrac{x\cdot x}{[HA]_0-x}=\dfrac{x^{2}}{[HA]_0-x}.

Passo 5

Derivar e resolver a equação quadrática para x; explicar o uso da fórmula de Bhaskara.
  • Reescrevendo:
\mathrm{Ka}([HA]_0-x)=x^{2}
\Rightarrow x^{2}+\mathrm{Ka}\,x-\mathrm{Ka}[HA]_0=0.
Isto é uma equação quadrática do tipo ax^{2}+bx+c=0 com
a=1,\quad b=\mathrm{Ka},\quad c=-\mathrm{Ka}[HA]_0.
  • Solução pela fórmula quadrática:
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\dfrac{-\mathrm{Ka}\pm\sqrt{\mathrm{Ka}^{2}+4\mathrm{Ka}[HA]_0}}{2}.
Escolhe-se o sinal + na raiz porque x deve ser positivo.

Passo 6

Calcular numericamente x=[H^{+}] com os números dados (mostrar contas).
  • Primeiro calcule o discriminante:
\Delta=\mathrm{Ka}^{2}+4\mathrm{Ka}[HA]_0.
Substituindo \mathrm{Ka}=6,6\times10^{-5} e [HA]_0\approx0,3967:
4\mathrm{Ka}[HA]_0=4\cdot(6,6\times10^{-5})\cdot0,3967\approx1,0472\times10^{-4}.
\mathrm{Ka}^{2}=(6,6\times10^{-5})^{2}=4,356\times10^{-9}\quad\text{(muito pequeno em comparação)}.çã
\Delta\approx1,0472\times10^{-4}+4,36\times10^{-9}\approx1,04723\times10^{-4}.
  • Raiz do discriminante:
\sqrt{\Delta}\approx\sqrt{1,04723\times10^{-4}}\approx0,0102336.
  • Agora x:
x=\dfrac{-6,6\times10^{-5}+0,0102336}{2}\approx\dfrac{0,0101676}{2}\approx0,0050838\\ \text{M}.
Conclusão: a concentração de \mathrm{H}^{+} no equilíbrio é [\mathrm{H}^{+}]\approx0,0050838\\ \text{M}.

Passo 7

Calcular o pH a partir de [\mathrm{H}^{+}] e explicar o que é logaritmo na definição de pH.
  • Definição de pH:
\mathrm{pH}=-\log_{10}[H^{+}].
  • Aplicando:
\mathrm{pH}=-\log_{10}(0,0050838)\approx2,294.
Breve explicação didática: o logaritmo \log_{10}(0,0050838) é o expoente que 10 deve ter para dar 0,0050838; como esse número é menor que 1, o log é negativo e o pH fica positivo.

Passo 8

Verificação rápida da aproximação usual ( x\ll[HA]_0) — regra dos 5% — para ver se a forma simplificada dava quase o mesmo resultado.
  • Aproximação comum: x\approx\sqrt{\mathrm{Ka}\,[HA]_0}.
x_{\text{aprox}}=\sqrt{(6,6\times10^{-5})\cdot0,3967}\approx0,005118\\ \text{M}.
  • Comparando com o valor exato 0,0050838\\ \text{M}, a diferença é pequena (cerca de 0,67\%).
  • Percentual de dissociação:
\frac{x}{[HA]_0}\approx\frac{0,0050838}{0,3967}\approx0,0128\approx1,28\%<5\%,
logo a aproximação era válida; usei a solução exata por segurança, mas em prova a forma aproximada já daria uma resposta aceitável e rápida.

Resposta

[H^{+}]=0,0050838\\ \text{M}
\mathrm{pH}=2,294

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