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Considere a equação
(5 x^2 y + 6 x^3 y^2 + 4 x y^2) dx + (2 x^3 + 3 x^4 y + 3 x^2 y) dy = 0
a) Mostre que a equação não é exata.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A gente tem uma equação diferencial:
Queremos mostrar que essa equação não é exata. Para isso, vamos lembrar do que significa uma equação exata e o que precisamos verificar.

Passo 2

Primeiro, identifique as funções que estão multiplicando e . Vamos chamar:
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja:

Passo 3

Vamos calcular :
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Derivando em relação a :

Passo 5

Vamos comparar as duas derivadas parciais que calculamos:
Observamos que:
  • Os termos são iguais em ambas.
  • Mas os outros termos são diferentes:
    • vs
    • vs

Resposta

Como , a equação diferencial dada não é exata.

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