Encontre as trajetórias ortogonais para cada uma das famílias de curvas indicadas, onde
é um parâmetro real.
c)
,
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
, onde
é um parâmetro real. Isso significa que queremos descobrir um novo conjunto de curvas que se cruzam perpendicularmente às curvas
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da família de curvas
em relação a
. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Derivando
em relação a
:
Passo 3
Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, sabemos que a inclinação das curvas ortogonais é o negativo do inverso da inclinação das curvas originais. Ou seja, se
da curva original é
, então a inclinação das trajetórias ortogonais será:
Passo 4
Observamos que
é apenas um parâmetro e queremos eliminar esse parâmetro para encontrar uma equação que relacione
e
diretamente. Vamos reescrever a equação das trajetórias ortogonais:
Lembrando que
, podemos substituir
por
:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona
e
:
Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear a constante
como
, já que é apenas uma constante arbitrária:
Passo 7
Para deixar a equação mais geral, podemos reescrever
como uma nova constante
(já que
é um parâmetro real):
Onde
e
são constantes que podem ser ajustadas para diferentes soluções específicas.
Resposta
As trajetórias ortogonais para a família de curvas
são dadas por:
Onde
e
são constantes reais.