Encontre as trajetórias ortogonais para cada uma das famílias de curvas indicadas, onde k é um parâmetro real.
c) y = e^(k x),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por , onde é um parâmetro real. Isso significa que queremos descobrir um novo conjunto de curvas que se cruzam perpendicularmente às curvas . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da família de curvas em relação a . A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto.
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, sabemos que a inclinação das curvas ortogonais é o negativo do inverso da inclinação das curvas originais. Ou seja, se da curva original é , então a inclinação das trajetórias ortogonais será:

Passo 4

Observamos que é apenas um parâmetro e queremos eliminar esse parâmetro para encontrar uma equação que relacione e diretamente. Vamos reescrever a equação das trajetórias ortogonais:
Lembrando que , podemos substituir por :

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona e :
Vamos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear a constante como , já que é apenas uma constante arbitrária:

Passo 7

Para deixar a equação mais geral, podemos reescrever como uma nova constante (já que é um parâmetro real):
Onde e são constantes que podem ser ajustadas para diferentes soluções específicas.

Resposta

As trajetórias ortogonais para a família de curvas são dadas por:
Onde e são constantes reais.

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