31: Encontre a inclinação e a equação da reta tangente à curva y=9-2 x^2 no ponto (2,1).

Passo 1

O enunciado dá a função y=9-2x^2 e pede a reta tangente em (2,1). O conteúdo é derivadas (regra de potência) e equação de reta tangente. Vamos precisar de (i) calcular y'=dydx, (ii) avaliar y' em x=2 para obter a inclinação m e (iii) usar a fórmula da reta tangente
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Derivamos y=9-2x^2 usando a regra de potência:
y' = ddx(9) - 2cdotddx(x^2) = 0 - 2cdot 2x = -4x

Passo 3

A inclinação da tangente em x=2 é
m = y'(2) = -4cdot 2 = -8

Passo 4

Aplicamos a fórmula da reta tangente em (x0,y0)=(2,1):
y - 1 = -8,(x - 2)
Agora simplificamos:
y - 1 = -8x + 16 Longrightarrow y = -8x + 17

Resposta

A inclinação é m=-8 e a equação da reta tangente é
y = -8x + 17

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