Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que existe uma raiz da equação no intervalo dado.
cos raizx=e^x-2,(0,1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe uma raiz da equação
cosraizx=e^x-2
no intervalo (0,1). Para isso, definimos
f(x)=cosraizx-e^x+2
e usaremos o Teorema do Valor Intermediário, pois f é contínua em [0,1].

Passo 2

Verificamos que f é contínua em [0,1] porque é combinação de funções contínuas: raizx, cos y e e^x.

Passo 3

Calculamos f(0).
raiz0=0, cos0=1, e^0=1
Logo,
f(0)=1-1+2=2>0

Passo 4

Calculamos f(1).
raiz1=1, cos1approx0,54, e^1=eapprox2,718
Portanto,
f(1)approx0,54-2,718+2approx-0,178<0

Passo 5

Como f(0)>0 e f(1)<0 e f é contínua em [0,1], pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(0,1) tal que
f(c)=0,
ou seja, existe raiz da equação no intervalo dado.

Resposta

Existe cin(0,1) satisfazendo cosraizc=e^c-2.

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