[31] Quando uma função polinomial do primeiro grau verifica: f(x1+x2)=f(x1)+f(x2) ? Esta propriedade vale ou não para:
a) f(x)=x^2
b) f(x)=2 x^3
c) f(x)=2 x+1
d) f(x)=3 x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a propriedade de aditividade
f(x1+x2) ;=; f(x1) + f(x2)
para várias funções dadas. Essa é a condição que caracteriza funções lineares que passam pela origem.

Passo 2

Suponha uma função polinomial de primeiro grau genérica
f(x) = a,x + b
Então
f(x1+x2) = a,(x1+x2) + b = a,x1 + a,x2 + b
e
f(x1) + f(x2) = (a,x1 + b) + (a,x2 + b) = a,x1 + a,x2 + 2b

Passo 3

Para que f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) valha para todos x1,x2, precisamos de
a,x1 + a,x2 + b = a,x1 + a,x2 + 2b
o que só ocorre se
b = 0
Logo, a única forma é
f(x) = a,x,
isto é, funções do primeiro grau sem termo constante.

Passo 4

Testando cada função:
bul<=t a) f(x)=x^2. Não é da forma a,x, e de fato
f(x1+x2)=(x1+x2)^2neq x1^2+x2^2=f(x1)+f(x2)
bul<=t b) f(x)=2x^3. Também não é da forma a,x, e
f(x1+x2)=2(x1+x2)^3neq 2x1^3+2x2^3=f(x1)+f(x2)
bul<=t c) f(x)=2x+1. É da forma a,x+b com bneq0, logo falha:
f(x1+x2)=2(x1+x2)+1neq(2x1+1)+(2x2+1)
bul<=t d) f(x)=3x. Está na forma a,x com a=3, e
f(x1+x2)=3(x1+x2)=3x1+3x2=f(x1)+f(x2)

Resposta

a) não
b) não
c) não
d) sim

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