Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^2 ln (x+2)x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral0^2ln(x+2)x+2,dx.
O conteúdo principal é usar substituição para simplificar a expressão e depois aplicar a primitiva conhecida de tfracln tt.

Passo 2

Fazendo a troca de variável
;t = x + 2, temos ;dt = dx e os limites se transformam em t(0)=2 e t(2)=4. Assim a integral vira
integral2^4ln tt,dt

Passo 3

Reconhecemos que a primitiva de tfracln tt é
integral ln tt,dt = (ln t)^22 + C

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva entre t=2 e t=4:
(ln t)^22|2^4 = (ln 4)^22 - (ln 2)^22 = (2ln 2)^2 - (ln 2)^22 = 4(ln 2)^2 - (ln 2)^22 = 3(ln 2)^22

Resposta

32(ln 2)^2

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