Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-2 n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty e^-2n
O conteúdo é o critério de convergência de séries geométricas.

Passo 2

Note que
e^-2n = (e^-2)^n,
logo a série é geométrica com razão r = e^-2 e primeiro termo a = e^-2.

Passo 3

Para uma série geométrica sumn=1^inftyr^n temos convergência se, e somente se, lvert rrvert<1. Aqui
lvert rrvert = e^-2<1,
pois e^-2approx0,135.

Passo 4

Como lvert rrvert<1, a série converge e seu valor é dado por
sumn=1^inftyr^n = r1-r
Substituindo r = e^-2, obtemos
sumn=1^inftye^-2n = e^-21 - e^-2

Resposta

A série converge e
sumn=1^inftye^-2n = e^-21 - e^-2

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