Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \pi}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty cos npi5^n
converge ou diverge. O conteúdo envolve séries numéricas, em especial identificação de série geométrica e análise de convergência absoluta.

Passo 2

Usando a identidade cos npi = (-1)^n, reescrevemos a série como
sumn=1^infty (-1)^n5^n = sumn=1^infty l(-tfrac15r)^n,
que é uma série geométrica de razão r = -tfrac15.

Passo 3

Como lvert rrvert = tfrac15 < 1, a série geométrica converge e seu valor é
sumn=1^infty l(-tfrac15r)^n = -tfrac151 - l(-tfrac15r) = -tfrac15tfrac65 = -tfrac16

Passo 4

Para a convergência absoluta, considere
sumn=1^infty llverttfrac(-1)^n5^nrrvert = sumn=1^infty 15^n,
que também é geométrica com razão tfrac15<1, logo converge. Portanto, nossa série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e
sumn=1^inftycos npi5^n = -16

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