Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \pi}{5^{n}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \pi}{5^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. O conteúdo envolve séries numéricas, em especial identificação de série geométrica e análise de convergência absoluta.
Passo 2
Usando a identidade
, reescrevemos a série como
que é uma série geométrica de razão
.
Passo 3
Como
, a série geométrica converge e seu valor é
Passo 4
Para a convergência absoluta, considere
que também é geométrica com razão
tfrac15<1 , logo converge. Portanto, nossa série converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente e