Determine o domínio e as componentes das funções vetoriais a seguir
vecF(t)=[(t^2-1) i+ln t j+cot t k] times[(4-t^2) i+e^-5 t j+1t k]

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio de
F(t)=l[(t^2-1),i+ln t,j+cot t,kr]timesl[(4-t^2),i+e^-5t,j+tfrac1t,kr]
e depois calcular cada componente do produto vetorial. O conteúdo envolvido é análise de domínio de funções elementares (logaritmo, cotangente, recíproco) e aplicação da fórmula do produto vetorial em coordenadas.

Passo 2

Para determinar o domínio, analisamos componente a componente dos dois vetores:
  1. t^2-1 é definida em todo R.
  2. ln t exige t>0.
  3. cot t=cos tsin t exige sin tneq0, ou seja, tneq kpi, kinZ.
  4. 4-t^2 é definida em todo R.
  5. e^-5t é definida em todo R.
  6. tfrac1t exige tneq0.

Passo 3

A interseção dessas restrições dá
t>0, tneq kpi (kinN)
ou seja, o domínio é
(0,pi),cup,(pi,2pi),cup,(2pi,3pi),cupcdots ,

Passo 4

Agora recordamos a fórmula do produto vetorial para A=(A1,A2,A3) e B=(B1,B2,B3):
AtimesB =(A2B3 - A3B2),i -l(A1B3 - A3B1r),j +(A1B2 - A2B1),k

Passo 5

Identificando
A1 = t^2-1, A2 = ln t, A3 = cot t, B1 = 4-t^2, B2 = e^-5t, B3 = tfrac1t,
temos a componente em i:
A2B3 - A3B2 =ln tt-cot t;e^-5t

Passo 6

A componente em j é
-l(A1B3 - A3B1r) =-l(t^2-1t-cot t,(4-t^2)r) =(4-t^2),cot t-t^2-1t

Passo 7

A componente em k é
A1B2 - A2B1 =(t^2-1),e^-5t-(4-t^2),ln t

Resposta

Domínio:
,t>0:;tneq kpi, kinN =(0,pi)cup(pi,2pi)cup(2pi,3pi)cupcdots
Componentes de F(t):
F(t) =l(tfracln tt-cot t,e^-5tr)i +l((4-t^2)cot t-tfract^2-1tr)j +l((t^2-1)e^-5t-(4-t^2)ln tr)k

Exercícios relacionados