Considere um ciclo de ar-padrāo frio Otto. Os dados operacionais são fornecidos em seus estados principais no ciclo, na tabela a seguir. Os estados estão numerados, conforme a Fig. 9.3. O calor rejeitado pelo ciclo é de 86 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb} de ar ( 200,0 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} ). Admitindo c_{v}=0,172 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{R}(0,72 \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K} ), determine
(a) a taxa de compressão.
(b) o trabalho líquido por unidade de massa de ar, em Btu/lb.
(c) a eficiência térmica.
(d) a pressão média efetiva, em \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}.
Estado T\left({ }^{\circ} \mathrm{R}\right) p\left(\mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}\right)
1 500 47,50
2 1204,1 1030
3 2408,2 2060
4 1000 95

Passo 1

O enunciado pede:
(a) a taxa de compressão;
(b) o trabalho líquido por unidade de massa de ar, em Btu/lb;
(c) a eficiência térmica;
(d) a pressão média efetiva, em \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2.
Peguei os dados da tabela (estados conforme a Fig. 9.3):
  • Estado 1: T_1 = 500 ^\circ\mathrm{R}, p_1 = 47{,}50 \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2.
  • Estado 2: T_2 = 1204{,}1 ^\circ\mathrm{R}, p_2 = 1030 \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2.
  • Estado 3: T_3 = 2408{,}2 ^\circ\mathrm{R}, p_3 = 2060 \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2.
  • Estado 4: T_4 = 1000 ^\circ\mathrm{R}, p_4 = 95 \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2.
Outras informações dadas:
  • Calor rejeitado por unidade de massa: q_{\text{out}} = 86 \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}.
  • Capacidade térmica a volume constante: c_v = 0{,}172 \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{R}}.
O ciclo é um Otto padrão com processos:
1→2 isentrópico (compressão),
2→3 const. volume (adição de calor),
3→4 isentrópico (expansão),
4→1 const. volume (rejeição de calor).

Passo 2

Determinar a razão de capacidades térmicas e a razão de compressão r.
Teoria usada e fórmulas:
  • Para gás perfeito: p v = R T, onde R é a constante específica do gás.
  • Relação entre c_p, c_v e R: c_p = c_v + R.
  • Razão de capacidades: \gamma = \dfrac{c_p}{c_v} = 1 + \dfrac{R}{c_v}.
  • No ciclo Otto, para compressão/expansão isentrópicas e r = V_1/V_2, vale
\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4} = r^{\,\gamma-1}.
Vou usar o valor padrão da constante do ar em unidades Btu/(lb·°R):
R = 0{,}06855\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{R}}).
Cálculo de \gamma:
\gamma = 1 + \dfrac{R}{c_v} = 1 + \dfrac{0{,}06855}{0{,}172} \approx 1 + 0{,}3983 = 1{,}3983.
Agora uso \dfrac{T_2}{T_1}=1204{,}1/500 = 2{,}4082. Logo
r^{\,\gamma-1} = 2{,}4082 \quad\Rightarrow\quad r = \bigl(2{,}4082\bigr)^{1/(\gamma-1)}.
Com \gamma-1 = 0{,}3983 e 1/(\gamma-1)\approx 2{,}5109:
r \approx (2{,}4082)^{2{,}5109} \approx 9{,}07.

Passo 3

Cálculo do calor fornecido ( q_{\text{in}}) e do trabalho líquido por unidade de massa.
Teoria/fórmulas:
  • Em processo a volume constante, o calor específico trocado por unidade de massa é q = c_v (T_{\text{final}} - T_{\text{inicial}}).
  • No ciclo Otto: q_{\text{in}} = c_v (T_3 - T_2) e q_{\text{out}} = c_v (T_4 - T_1). (Aqui o enunciado já fornece q_{\text{out}}=86\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}; essa relação serve para ver consistência.)
  • Trabalho líquido por unidade de massa: w_{\text{net}} = q_{\text{in}} - q_{\text{out}}.
Calcule q_{\text{in}}:
q_{\text{in}} = c_v (T_3 - T_2) = 0{,}172\cdot(2408{,}2 - 1204{,}1) = 0{,}172\cdot 1204{,}1.
q_{\text{in}} \approx 0{,}172\times1204{,}1 = 207{,}1052\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}.
Trabalho líquido:
w_{\text{net}} = q_{\text{in}} - q_{\text{out}} = 207{,}1052 - 86 = 121{,}1052\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}.

Passo 4

Cálculo da eficiência térmica \eta.
Teoria/fórmulas:
  • Eficiência do ciclo pela definição: \eta = \dfrac{w_{\text{net}}}{q_{\text{in}}} = 1 - \dfrac{q_{\text{out}}}{q_{\text{in}}}.
  • Eficiência teórica do Otto com razão de compressão r: \eta = 1 - r^{\,1-\gamma} = 1 - \dfrac{1}{r^{\,\gamma-1}}. (As duas expressões são equivalentes para ciclo ideal com c_v constante.)
Usando os valores já obtidos:
\eta = \dfrac{121{,}1052}{207{,}1052} \approx 0{,}5849 = 58{,}49\%.
Checando pela fórmula com r:
\eta = 1 - \frac{1}{r^{\,\gamma-1}} = 1 - \frac{1}{2{,}4082} \approx 1 - 0{,}4151 = 0{,}5849,
mesmo resultado (consistência OK).

Passo 5

Cálculo da pressão média efetiva (PME) em \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2.
Estratégia e fórmulas:
  • Definição: \mathrm{PME} = \dfrac{\text{trabalho líquido por ciclo}}{\text{volume deslocado por ciclo}}í.
    Aqui trabalhamos por unidade de massa de ar, então
\mathrm{PME} = \dfrac{w_{\text{net}}\\ (\text{convertido para in·lbf/lb})}{v_1 - v_2\\ (\text{em in}^3/\text{lb})},
onde v = volume específico ( \text{in}^3/\text{lb}).
  • Usar equação de gás perfeito para obter v_1 e v_2:
v = \frac{R\,T}{p},
com p em \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2, T em ^\circ\mathrm{R} e R em \mathrm{in\cdot lbf}/(\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{R}}).
  • Conversão de unidades: 1\\ \mathrm{Btu} = 778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf} = 9338{,}028\\ \mathrm{in\cdot lbf}. Usarei isto para converter w_{\text{net}} de \mathrm{Btu}/\mathrm{lb} para \mathrm{in\cdot lbf}/\mathrm{lb}.
  • Para obter R em \mathrm{in\cdot lbf}/(\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{R}}): R = 0{,}06855\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{R}})\times 9338{,}028\\ \mathrm{in\cdot lbf}/\mathrm{Btu}.
    Cálculo:
R \approx 0{,}06855\times9338{,}028 \approx 640{,}12\\ \mathrm{in\cdot lbf}/(\mathrm{lb}\cdot{^\circ\mathrm{R}}).
Cálculo de v_1 e v_2 (em \mathrm{in}^3/\mathrm{lb}):
v_1 = \frac{R T_1}{p_1} = \frac{640{,}12\cdot 500}{47{,}50} \approx 6739{,}9\\ \mathrm{in}^3/\mathrm{lb},
v_2 = \frac{R T_2}{p_2} = \frac{640{,}12\cdot 1204{,}1}{1030} \approx 748{,}7\\ \mathrm{in}^3/\mathrm{lb}.
Volume deslocado específico:
v_1 - v_2 \approx 6739{,}9 - 748{,}7 = 5991{,}2\\ \mathrm{in}^3/\mathrm{lb}.
Converter w_{\text{net}} para \mathrm{in\cdot lbf}/\mathrm{lb}:
w_{\text{net}} = 121{,}1052\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}\times 9338{,}028\\ \frac{\mathrm{in\cdot lbf}}{\mathrm{Btu}} \approx 1{,}130{,}883{,}7\\ \mathrm{in\cdot lbf}/\mathrm{lb}.
Finalmente a PME:
\mathrm{PME} = \frac{1{,}130{,}883{,}7}{5991{,}2} \approx 188{,}7\\ \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2.

Resposta

(a) r \approx 9{,}07
(b) w_{\text{net}} \approx 121{,}11\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lb}
(c) \eta \approx 0{,}5849 \approx 58{,}49\%
(d) \mathrm{PME} \approx 188{,}7\\ \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2

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