(32) sumk=0^infty k^3(x-2)^k3^k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a soma da série de potências
sumk=0^infty k^3(x-2)^k3^k
O conteúdo aqui é séries de potências e a técnica é usar derivadas da série geométrica básica
sumk=0^infty t^k=11-t(|t|<1)
para obter expressões para sum k,t^k, sum k^2t^k e sum k^3t^k.

Passo 2

Fazemos a substituição
t=x-23,
de modo que a série fica
sumk=0^inftyk^3t^k,
com raio de convergência |t|<1, ou seja |x-2|<3.

Passo 3

Recordando as fórmulas obtidas por derivação da série geométrica:
sumk=0^inftyk,t^k=t(1-t)^2,
sumk=0^inftyk^2t^k=t(1+t)(1-t)^3,
sumk=0^inftyk^3t^k=tl(1+4t+t^2r)(1-t)^4
Portanto, nossa soma é
sumk=0^inftyk^3t^k =tl(1+4t+t^2r)(1-t)^4

Passo 4

Voltando a t=(x-2)/3, temos
S(x)=sumk=0^inftyk^3(x-2)^k3^k = x-23l(1+4x-23+l(x-23r)^2r) l(1-x-23r)^4
Agora simplificamos a fração. Note que
1-x-23=5-x3,
então
S(x) =x-23,9+12(x-2)+(x-2)^29l(5-x3r)^4 =(x-2)l[(x-2)^2+12(x-2)+9r]27;cdot;81(5-x)^4
Como 81/27=3, chega-se a
S(x) =3,(x-2)l[(x-2)^2+12(x-2)+9r](5-x)^4
Expandindo (x-2)^2+12(x-2)+9=x^2+8x-11 e depois (x-2)(x^2+8x-11)=x^3+6x^2-27x+22, obtemos
S(x)=3l(x^3+6x^2-27x+22r)(5-x)^4,
válido para |x-2|<3.

Resposta

boxed,sumk=0^inftyk^3(x-2)^k3^k =3l(x^3+6x^2-27x+22r)(5-x)^4, |x-2|<3,

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