Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
32)
32)
Passo 1
O enunciado nos pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência via Critério da Razão (de d’Alembert) e depois testar os extremos
e
.
Passo 2
Aplicamos o Critério da Razão à série
com
. Calculamos
Passo 3
Pelo Critério da Razão, a série converge se
L<1 , isto é
e diverge se
l|xr|>1 . Logo o raio de convergência é
R=1 .
Passo 4
Agora testamos as extremidades do intervalo
-1<= x<=1 .
Para
x=1 , a série fica
que diverge pois os termos não tendem a zero e a soma dos
k cresce sem limite.
Passo 5
Para
x=-1 , a série fica
Embora haja alternância de sinais, o termo geral
k,(-1)^k não tende a zero (ele oscila com módulo
ktoinfty ), portanto a série também diverge.
Resposta
O intervalo de convergência é