Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
32) sumk=3^infty k x^k

Passo 1

O enunciado nos pede o intervalo de convergência da série de potências
sumk=3^infty k cdot x^k
O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência via Critério da Razão (de d’Alembert) e depois testar os extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicamos o Critério da Razão à série sum ak com ak = k,x^k. Calculamos
L =limktoinfty|ak+1ak| =limktoinfty|(k+1),x^,k+1k,x^k| =limktoinftyk+1k,l|xr| =limktoinftyl(1+1kr),l|xr| =l|xr|

Passo 3

Pelo Critério da Razão, a série converge se L<1, isto é
l|xr|<1,
e diverge se l|xr|>1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 4

Agora testamos as extremidades do intervalo -1<= x<=1.
Para x=1, a série fica
sumk=3^inftykcdot1^k =sumk=3^inftyk,
que diverge pois os termos não tendem a zero e a soma dos k cresce sem limite.

Passo 5

Para x=-1, a série fica
sumk=3^inftyk,(-1)^k
Embora haja alternância de sinais, o termo geral k,(-1)^k não tende a zero (ele oscila com módulo ktoinfty), portanto a série também diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
(-1,1)

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