Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem que você me mandou: com as condições iniciais e . A gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para achar a solução dessa equação. Vamos precisar entender como achar as raízes da equação característica e usar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo os valores das raízes:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada da solução geral para aplicar . A derivada de é:
Aplicando :
Passo 7
Agora temos um sistema de equações para resolver:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos C1: