Resolva o problema de valor iniciado dado: y^prime prime+2 y^prime-8 y=0 ; y(0)=3, y^prime(0)=-12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem que você me mandou: y'' + 2 y' - 8 y = 0 com as condições iniciais y(0) = 3 e y'(0) = -12. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para achar a solução dessa equação. Vamos precisar entender como achar as raízes da equação característica e usar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma y'' + a y' + b y = 0, a equação característica é r^2 + a r + b = 0. No nosso caso, a = 2 e b = -8, então a equação característica fica:
r^2 + 2 r - 8 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes r. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Aplicando os valores:
r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8)2 cdot 1 = -2 pm raiz4 + 322 = -2 pm raiz362 = -2 pm 62
Então, as raízes são:
r1 = -2 + 62 = 2 e r2 = -2 - 62 = -4

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo os valores das raízes:
y(t) = C1 e^2 t + C2 e^-4 t

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes C1 e C2.
Primeiro, aplicamos y(0) = 3:
y(0) = C1 e^2 cdot 0 + C2 e^-4 cdot 0 Rightarrow C1 + C2 = 3

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada da solução geral para aplicar y'(0) = -12. A derivada de y(t) é:
y'(t) = 2 C1 e^2 t - 4 C2 e^-4 t
Aplicando t = 0:
y'(0) = 2 C1 e^0 - 4 C2 e^0 Rightarrow 2 C1 - 4 C2 = -12

Passo 7

Agora temos um sistema de equações para resolver:
C1 + C2 = 3 2 C1 - 4 C2 = -12
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, isolamos C1:
C1 = 3 - C2
Substituímos na segunda equação:
2 (3 - C2) - 4 C2 = -12 6 - 2 C2 - 4 C2 = -12 6 - 6 C2 = -12 -6 C2 = -18 C2 = 3
Então, substituindo de volta:
C1 = 3 - 3 = 0

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 3 e^-4 t

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