5-32 Avalie a integral.

integral cos x ln (sen x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral cos x ,ln(sin x),dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos o produto de um logaritmo por uma função trigonométrica.

Passo 2

Escolhemos
u = ln(sin x), dv = cos x,dx
Então
du = ddx[ln(sin x)],dx = cot x,dx, v = integral cos x,dx = sin x

Passo 3

Aplicando a fórmula da integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du, temos
integral cos x,ln(sin x),dx = sin x,ln(sin x) - integral sin x,cot x,dx
Mas sin x,cot x = cos x, logo
integral sin x,cot x,dx = integral cos x,dx = sin x

Resposta

sin x,ln(sin x);-;sin x + C

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