Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto P. Justifique.
f(x, y)=lx^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0), P=(0,0).

Passo 1

Então, galera! A gente tem uma função de duas variáveis f(x, y) definida de duas formas diferentes: uma para qualquer ponto que não seja a origem (0,0) e outra justamente na origem. A pergunta é: essa função é diferenciável no ponto P = (0,0) ? Para responder isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, isso envolve verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas parciais existem e se comportam bem. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função é contínua no ponto [(0,0)). Isso é importante porque, para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos calcular o limite de quando se aproxima de .
A função é dada por:
Vamos calcular:
Para simplificar, podemos usar coordenadas polares onde . Assim:
Perceba que o limite depende de , ou seja, ele pode variar dependendo da direção pela qual nos aproximamos de . Por exemplo:
  • Se , temos .
  • Se , temos .
Como o limite depende de e pode assumir diferentes valores, isso significa que o limite não existe de forma única. Portanto, a função não é contínua em .

Passo 3

Como já vimos que a função não é contínua no ponto (0,0) , isso já nos dá uma grande informação. Porém, vamos continuar verificando as derivadas parciais para entender melhor.
As derivadas parciais de f em relação a x e y no ponto (0,0) seriam:
fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k
Calculando fx(0,0) :
f(h, 0) = h^2 - 0h^2 + 0 = 1
fx(0,0) = limh to 0 1 - 0h = limh to 0 1h
Esse limite não existe (vai para infinito), então a derivada parcial em x não existe em (0,0) .
De forma semelhante, para fy(0,0) :
f(0, k) = 0 - k^20 + k^2 = -1
fy(0,0) = limk to 0 -1 - 0k = limk to 0 -1k
Esse limite também não existe (vai para menos infinito), então a derivada parcial em y também não existe em (0,0) .

Passo 4

Vamos recapitular o que descobrimos até agora:
  1. A função f(x, y) não é contínua em (0,0) .
  2. As derivadas parciais fx e fy não existem em (0,0) .
Para que uma função seja diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter todas as derivadas parciais existentes e contínuas nesse ponto. Como encontramos que a função não é nem contínua nem possui derivadas parciais em (0,0) , podemos concluir que ela não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função f(x, y) não é diferenciável no ponto P = (0,0) porque não é contínua nesse ponto e as derivadas parciais não existem em (0,0) .

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