5-32 Avalie a integral.

integral p^prime ln p d p

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
integral p'(x),lnl(p(x)r),dx,
onde p'=dp/dx. O conteúdo que vamos usar é a técnica de integração por partes, baseada na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos as partes de modo que apareça p',dx numa delas e ln(p) na outra:
u = lnl(p(x)r), dv = p'(x),dx

Passo 3

Calculamos du e v:
du = p'(x)p(x),dx, v = integral p'(x),dx = p(x)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral p',ln(p),dx = u,v ;-;integral v,du = p,ln(p);-;integral p;p'p,dx = p,ln(p);-;integral p',dx
E como integral p',dx = p, fica
integral p',ln(p),dx = p,ln(p) - p + C

Resposta

p,ln(p) - p + C

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