Esboce o gráfico da função dada por três períodos e determine a série de Fourier da função.
f(x)=cc1, & -1 <= x<0 x, & 0 <= x<1 ; f(x+2)=f(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função f(x) por três períodos e descobrir a série de Fourier dessa função. Isso envolve entender funções periódicas e como elas podem ser representadas por somas de senos e cossenos. Vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função [f(x)). Ela é definida por partes:
E essa função se repete a cada 2 unidades, ou seja, a .

Passo 3

Para esboçar o gráfico por três períodos, vamos considerar os intervalos de -1 a 1 , de 1 a 3 e de 3 a 5 . Em cada intervalo:
  • De -1 a 0 : a função é constante igual a 1.
  • De 0 a 1 : a função é uma reta que sobe de 0 a 1.
Isso se repete a cada período de 2 unidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular a série de Fourier. A série de Fourier para uma função periódica f(x) com período T = 2 pode ser escrita como:
f(x) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(npi x1) + bn sin(npi x1) ]
Onde os coeficientes são dados por:
a0 = 12 integral-1^1 f(x) , dx
an = integral-1^1 f(x) cos(npi x) , dx
bn = integral-1^1 f(x) sin(npi x) , dx

Passo 5

Vamos calcular a0 :
a0 = 12 [ integral-1^0 1 , dx + integral0^1 x , dx ] = 12 [ (0 - (-1)) + ( 12 ) ] = 12 [ 1 + 0.5 ] = 12 times 1.5 = 0.75

Passo 6

Agora, vamos calcular an :
an = integral-1^0 1 cdot cos(npi x) , dx + integral0^1 x cos(npi x) , dx
Calculando cada integral separadamente:
Para integral-1^0 cos(npi x) , dx :
sin(npi x)npi g|-1^0 = sin(0)npi - sin(-npi)npi = 0 - 0 = 0
Para integral0^1 x cos(npi x) , dx , usamos integração por partes:
u = x Rightarrow du = dx
dv = cos(npi x) dx Rightarrow v = sin(npi x)npi
Então:
x cdot sin(npi x)npi g|0^1 - integral0^1 sin(npi x)npi dx = sin(npi)npi - ( -cos(npi x)(npi)^2 g|0^1 ) = 0 - ( -cos(npi)(npi)^2 + 1(npi)^2 ) = 1 - cos(npi)(npi)^2
Então, an = 1 - cos(npi)(npi)^2

Passo 7

Agora, calculamos bn :
bn = integral-1^0 1 cdot sin(npi x) , dx + integral0^1 x sin(npi x) , dx
Calculando cada integral separadamente:
Para integral-1^0 sin(npi x) , dx :
-cos(npi x)npi g|-1^0 = -cos(0)npi + cos(-npi)npi = -1npi + cos(npi)npi = cos(npi) - 1npi
Para integral0^1 x sin(npi x) , dx , usamos integração por partes:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin(npi x) dx Rightarrow v = -cos(npi x)npi
Então:
-x cdot cos(npi x)npi g|0^1 + integral0^1 cos(npi x)npi dx = -cos(npi)npi + 0 + sin(npi x)(npi)^2 g|0^1 = -cos(npi)npi + sin(npi)(npi)^2 - 0 = -cos(npi)npi
Então, bn = cos(npi) - 1npi - cos(npi)npi = -1npi

Passo 8

Agora, juntando tudo, a série de Fourier da função f(x) é:
f(x) = 0.75 + sumn=1^infty [ 1 - cos(npi)(npi)^2 cos(npi x) - 1npi sin(npi x) ]

Resposta

A série de Fourier da função f(x) é:
f(x) = 0.75 + sumn=1^infty [ 1 - cos(npi)(npi)^2 cos(npi x) - 1npi sin(npi x) ]

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