Esboce o gráfico da função dada por três períodos e determine a série de Fourier da função. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função por três períodos e descobrir a série de Fourier dessa função. Isso envolve entender funções periódicas e como elas podem ser representadas por somas de senos e cossenos. Vamos precisar lembrar como calcular os coeficientes da série de Fourier para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função [f(x)). Ela é definida por partes:
E essa função se repete a cada 2 unidades, ou seja, a .
Passo 3
Para esboçar o gráfico por três períodos, vamos considerar os intervalos de a , de a e de a . Em cada intervalo:
De a : a função é constante igual a 1.
De a : a função é uma reta que sobe de 0 a 1.
Isso se repete a cada período de 2 unidades.
Passo 4
Agora, vamos calcular a série de Fourier. A série de Fourier para uma função periódica com período pode ser escrita como:
Onde os coeficientes são dados por:
Passo 5
Vamos calcular :
Passo 6
Agora, vamos calcular :
Calculando cada integral separadamente:
Para :
Para integral0^1 x cos(npi x) , dx , usamos integração por partes: