A base de um monte de terra cobre a região do plano x y que é delimitada pela parábola y=x^2-4 e pela reta y=2 x-4. A altura da terra acima do ponto (x, y) é dada por 3-x. Expresse o volume da terra como:
Uma integral dupla;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o volume de terra que cobre uma região no plano xy. Essa região é delimitada por uma parábola, y = x^2 - 4, e por uma reta, y = 2x - 4. Além disso, a altura da terra acima de cada ponto (x, y) nessa região é dada por 3 - x. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas, que ajudam a calcular volumes sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos lidando. Temos duas curvas:
  1. A parábola y = x^2 - 4.
  2. A reta y = 2x - 4.
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam para saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
x^2 - 4 = 2x - 4
Simplificando:
x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0
Então, x = 0 ou x = 2.

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em x = 0 e x = 2, vamos determinar qual curva está por cima da outra nessa faixa de x.
Vamos escolher um valor entre 0 e 2, por exemplo, x = 1.
Para x = 1:
  • y na parábola: 1^2 - 4 = -3
  • y na reta: 2(1) - 4 = -2
Então, a reta está acima da parábola nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, podemos definir os limites de integração. Para cada x entre 0 e 2, y varia da parábola y = x^2 - 4 até a reta y = 2x - 4.
A altura da terra acima de cada ponto (x, y) é 3 - x. Isso será a “função” que vamos integrar para encontrar o volume.

Passo 6

Agora, podemos expressar o volume V como uma integral dupla:
V = integralx=0^2 integraly=x^2 - 4^2x - 4 (3 - x) , dy , dx

Resposta

O volume da terra é dado pela integral dupla:
V = integral0^2 integralx^2 - 4^2x - 4 (3 - x) , dy , dx

Exercícios relacionados