A base de um monte de terra cobre a região do plano
que é delimitada pela parábola
e pela reta
. A altura da terra acima do ponto
é dada por
. Expresse o volume da terra como:
Uma integral dupla;
Uma integral dupla;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar o volume de terra que cobre uma região no plano
. Essa região é delimitada por uma parábola,
, e por uma reta,
. Além disso, a altura da terra acima de cada ponto
nessa região é dada por
. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais duplas, que ajudam a calcular volumes sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos lidando. Temos duas curvas:
- A parábola
. - A reta
.
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam para saber os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Simplificando:
Então,
ou
.
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em
e
, vamos determinar qual curva está por cima da outra nessa faixa de
.
Vamos escolher um valor entre 0 e 2, por exemplo,
.
Para
:
-
na parábola: -
na reta:
Então, a reta está acima da parábola nesse intervalo.
Passo 5
Com isso, podemos definir os limites de integração. Para cada
entre 0 e 2,
varia da parábola
até a reta
.
A altura da terra acima de cada ponto
é
. Isso será a “função” que vamos integrar para encontrar o volume.
Passo 6
Agora, podemos expressar o volume
como uma integral dupla:
Resposta
O volume da terra é dado pela integral dupla: