Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
Série de cossenos, período 4: f(x)= 1, & 0

Passo 1

A função é periódica de período 4 e queremos sua série de cossenos (ou seja, extensão par em [−2,2]). Vamos usar a definição de série de Fourier de cossenos em [0,L] com L=T/2=2.

Passo 2

Para uma função em [0,2], a expansão em cossenos é
f(x)=a02+sumn=1^inftyancosl(npi x2r),
em que
a0=2Lintegral0^L f(x),dx, an=2Lintegral0^L f(x)cosl(npi xLr),dx
Aqui L=2.

Passo 3

Calculando o coeficiente constante, temos
a0=22integral0^2 f(x),dx=integral0^2 f(x),dx=integral0^1 1,dx=1
Logo o termo constante é a0/2=1/2.

Passo 4

Para n>=1,
an=22integral0^2 f(x)cosl(npi x2r),dx=integral0^1cosl(npi x2r),dx
Fazendo a integral:
an=l[2npisinl(npi x2r)r]0^1=2npisinl(npi2r)

Passo 5

Observando sin(npi/2): para n par vale zero, e para n=2k+1 vale (-1)^k. Assim
a2k+1=2(-1)^k(2k+1)pi, a2k=0

Passo 6

Portanto a série de cossenos fica:
$$f(x)=\frac12+\sum_{k=0}{\infty}\frac{2(-1)k}{(2k+1)\pi}\cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\Bigr).
$$

Resposta

f(x)=12+sumk=0^infty2(-1)^k(2k+1)picosl((2k+1)pi x2r)

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