Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
Série de cossenos, período 4:
Série de cossenos, período 4:
Passo 1
A função é periódica de período 4 e queremos sua série de cossenos (ou seja, extensão par em [−2,2]). Vamos usar a definição de série de Fourier de cossenos em [0,L] com L=T/2=2.
Passo 2
Para uma função em [0,2], a expansão em cossenos é
em que
Aqui L=2.
Passo 3
Calculando o coeficiente constante, temos
Logo o termo constante é
Passo 4
Para
,
Fazendo a integral:
Passo 5
Observando
: para
par vale zero, e para
vale
. Assim
Passo 6
Portanto a série de cossenos fica:
$$f(x)=\frac12+\sum_{k=0}{\infty}\frac{2(-1)k}{(2k+1)\pi}\cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi x}{2}\Bigr).
$$