5-32 Avalie a integral.

integral r e^2 d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para avaliarmos a integral de r e^2 em relação a r . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, especificamente a integração de funções que envolvem constantes multiplicadas por variáveis. Para resolver, vamos precisar lembrar como integrar termos que são produtos de constantes e variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos r que é a variável, e e^2 que é uma constante (porque e é a base dos logaritmos naturais e e^2 é apenas um número fixo). Quando temos uma constante multiplicando uma variável, podemos simplificar a integral.

Passo 3

Sabemos que a integral de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela integral da função. Então, podemos tirar e^2 para fora da integral:
integral r e^2 , dr = e^2 integral r , dr

Passo 4

Agora, vamos integrar r em relação a r . A regra básica para integrar r^n é:
integral r^n , dr = r^n+1n+1 + C
Aqui, n = 1 , então:
integral r , dr = r^22 + C

Passo 5

Substituindo de volta na nossa expressão:
e^2 integral r , dr = e^2 ( r^22 + C )
Podemos simplificar isso para:
e^2 r^22 + C

Resposta

A integral de r e^2 , dr é:
e^2 r^22 + C

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