5-32 Avalie a integral.

integral1^raizn arctg(1 / x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral1^raizn arctanl(1/xr),dx
O conteúdo principal envolve integração por partes e depois um substituição simples para resolver o integral que surgir.

Passo 2

Escolhemos no método de partes:
u = arctanl(1/xr), dv = dx
Então
du = ddxl[arctan(1/x)r],dx = 11+(1/x)^2cdotl(-1/x^2r),dx = -1x^2+1,dx,
e
v = integral dv = x

Passo 3

Aplicando integração por partes,
integral arctanl(1/xr),dx = x,arctanl(1/xr) - integral xcdotl(-1x^2+1r),dx = x,arctanl(1/xr) + integral xx^2+1,dx
Para o segundo integral, faça w = x^2+1, dw = 2x,dx, então
integral xx^2+1,dx = 12integral dww = 12lnl(x^2+1r)
Logo, uma antiderivada é
F(x) = x,arctanl(1/xr) + 12lnl(x^2+1r)

Passo 4

Agora avaliaremos de x=1 até x=raizn:
integral1^raizn arctanl(1/xr),dx = Fl(raiznr) - F(1)
Temos
Fl(raiznr) = raizn,arctanl(1/raiznr) + tfrac12lnl(n+1r),
F(1) = 1cdotarctan(1) + tfrac12ln(2) = pi4 + 12ln2

Passo 5

Subtraindo e agrupando o termo logarítmico:
integral1^raizn arctanl(1/xr),dx = raizn,arctanl(1/raiznr) + 12ln(n+1) - pi4 - 12ln2
= raizn,arctanl(1/raiznr) - pi4 + 12ln!gl(n+12gr)

Resposta

boxedraizn,arctanl(1/raiznr) - pi4 + 12ln!l(n+12r)

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