1. integral raiz1+x^3 d x

Passo 1

Estamos querendo encontrar a primitiva
integral raiz1+x^3;dx
Esse tipo de integral não se expressa em funções elementares conhecidas (polinomiais, exponenciais, etc.). Para resolvê-la, vamos usar uma substituição que leve a uma integral do tipo hipergeométrico de Gauss.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
z = x^3, dz = 3,x^2,dx Longrightarrow dx = dz3,x^2
Note que
raiz1+x^3 = (1+z)^tfrac12, x^2 = z^tfrac23 Longrightarrow 1x^2 = z^-tfrac23
Assim a integral vira
integral raiz1+x^3,dx = integral (1+z)^tfrac12,dz3,x^2 = 13,integral z^-tfrac23,(1+z)^tfrac12;dz

Passo 3

Usamos a fórmula padrão de integral hipergeométrica
integral z^b-1,(1+z)^-a;dz = z^bb;2F1l(a,b;b+1;-zr)+C
No nosso caso queremos z^-2/3(1+z)^1/2, isto é
b-1 = -tfrac23 Rightarrow b=tfrac13, -a = tfrac12 Rightarrow a=-tfrac12
Logo
integral z^-tfrac23(1+z)^tfrac12,dz = z^tfrac13tfrac13; 2F1l(-tfrac12,tfrac13;tfrac43;-zr) + C = 3,z^tfrac13;2F1l(-tfrac12,tfrac13;tfrac43;-zr)+C
Multiplicando por 1/3 (do Passo 2), obtemos
integral raiz1+x^3,dx = z^tfrac13;2F1l(-tfrac12,tfrac13;tfrac43;-zr)+C

Passo 4

Voltando a z=x^3, temos z^1/3=x. Portanto a antiderivada final é
F(x) = x;2F1l(-tfrac12,tfrac13;tfrac43;-x^3r)+C

Resposta

boxed integral raiz1+x^3,dx = x;2F1l(-tfrac12,tfrac13;tfrac43;-x^3r)+C

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