Seja D a região no
octante delimitada abaixo pelo cone
e acima pela esfera
.
Calcule o volume, necessariamente, em coordenadas esféricas.
Calcule o volume, necessariamente, em coordenadas esféricas.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de uma região específica no primeiro octante (onde x, y e z são positivos) que está delimitada abaixo por um cone dado por
e acima por uma esfera com raio
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para problemas com simetria esférica ou cônica.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como essas superfícies se expressam em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é definido por
(a distância até a origem),
(o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(o ângulo a partir do eixo z).
A esfera
é simples de representar: é uma esfera de raio 3 centrada na origem. Já o cone
pode ser reescrito em coordenadas esféricas usando as relações:
Então, o cone fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
:
-
varia de 0 até 3 (raio da esfera). -
varia de 0 até (limite imposto pelo cone). -
varia de 0 até (primeiro octante).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 4
Vamos montar a integral que representa o volume:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo na integral:
Finalmente, integramos em relação a
:
Então, o volume é:
Resposta
O volume da região é aproximadamente 4,14 unidades cúbicas.