Seja D a região no 1^0 octante delimitada abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2 e acima pela esfera rho=3.
Calcule o volume, necessariamente, em coordenadas esféricas.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o volume de uma região específica no primeiro octante (onde x, y e z são positivos) que está delimitada abaixo por um cone dado por z = raizx^2 + y^2 e acima por uma esfera com raio rho = 3 . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são muito úteis para problemas com simetria esférica ou cônica.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como essas superfícies se expressam em coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto no espaço é definido por rho (a distância até a origem), theta (o ângulo no plano xy a partir do eixo x) e phi (o ângulo a partir do eixo z).
A esfera rho = 3 é simples de representar: é uma esfera de raio 3 centrada na origem. Já o cone z = raizx^2 + y^2 pode ser reescrito em coordenadas esféricas usando as relações:
z = rho cosphi
raizx^2 + y^2 = rho sinphi
Então, o cone fica:
rho cosphi = rho sinphi
cosphi = sinphi
tanphi = 1
phi = pi4

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração para rho , phi e theta :
  • rho varia de 0 até 3 (raio da esfera).
  • phi varia de 0 até pi4 (limite imposto pelo cone).
  • theta varia de 0 até pi2 (primeiro octante).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Vamos montar a integral que representa o volume:
V = integral0^pi2 integral0^pi4 integral0^3 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Primeiro, integramos em relação a rho :
integral0^3 rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^3 = 273 = 9
Então, a integral simplifica para:
V = 9 integral0^pi2 integral0^pi4 sinphi , dphi , dtheta

Passo 5

Agora, integramos em relação a phi :
integral0^pi4 sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22
Substituindo na integral:
V = 9 (1 - raiz22) integral0^pi2 dtheta
Finalmente, integramos em relação a theta :
integral0^pi2 dtheta = pi2
Então, o volume é:
V = 9 (1 - raiz22) times pi2 = 9pi2 (1 - raiz22)

Resposta

O volume da região é aproximadamente 4,14 unidades cúbicas.

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