5-32 Avalie a integral.

integral r^3raiz4+r^2 d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral r^3raiz4+r^2,dr
Isso envolve a técnica de substituição em integrais, pois temos uma função racional em r com uma raiz de expressão quadrática. Vamos usar a substituição para transformar a raiz numa potência simples.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4 + r^2,
então
du = 2r,dr Longrightarrow r,dr = du2
Note que r^3,dr = r^2,(r,dr). Como r^2 = u - 4, temos
r^3,dr = (u - 4),du2

Passo 3

Substituindo em integral r^3raiz4+r^2,dr, obtemos
integral r^3raizu,dr = integral (u-4)raizu;du2 = 12integrall(u^1/2-4u^-1/2r),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral u^1/2,du = 23u^3/2, integral u^-1/2,du = 2u^1/2
Logo,
12integrall(u^1/2-4u^-1/2r),du = 12l(23u^3/2 - 4cdot 2u^1/2r) + C = 13u^3/2 - 4u^1/2 + C

Passo 5

Voltando à variável r com u = 4 + r^2, temos
integral r^3raiz4+r^2,dr = 13(4+r^2)^3/2 - 4(4+r^2)^1/2 + C

Resposta

boxedintegral r^3raiz4+r^2,dr = 13(4+r^2)^3/2 - 4(4+r^2)^1/2 + C

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