5-32 Avalie a integral.

integral-4^pi / 2 x cossec^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-4^pi/2 x,csc^2 x,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, pois temos um produto de x com csc^2 x. Para aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
escolheremos u e dv de forma conveniente.

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = csc^2 x,dx
Então
du = dx, v = integral csc^2 x,dx = -cot x,
pois sabemos que ddx(cot x) = -csc^2 x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x,csc^2 x,dx = u,v - integral v,du = -xcot x - integral(-cot x),dx = -xcot x + integral cot x,dx
E
integral cot x,dx = lnl|sin xr|
Portanto um antiderivado é
F(x) = -xcot x + lnl|sin xr|

Passo 4

Agora avaliamos de -4 até pi/2:
Fl(tfracpi2r) = -tfracpi2cot!tfracpi2 + lnl|sintfracpi2r| = -tfracpi2cdot0 + ln(1) = 0,
F(-4) = -(-4)cot(-4) + lnl|sin(-4)r| = 4l(-cot4r) + lnl|sin4r| = -4cot4 + lnl|sin4r|
Logo,
integral-4^pi/2 x,csc^2 x,dx = Fl(tfracpi2r)-F(-4) = 0 - l(-4cot4 + ln|sin4|r) = 4cot4 ;-;lnl|sin4r|

Resposta

4cot(4) ;-;ln!l|sin(4)r|

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