32 Considere uma matriz quadrada A de ordem 4 e multiplique cada uma de suas colunas por m(\mathrm{~m}>0), obtendo a matriz \mathrm{m} \cdot A. Se \operatorname{det}(\mathrm{mA})=243 \mathrm{e} \operatorname{det} A=3 :
a) Encontre o valor de \boldsymbol{m}.
b) Multiplicando as duas primeiras colunas de A por 2 m e as duas últimas por \frac{1}{\mathrm{~m}}, qual é o valor do determinante da matriz assim construída?

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz quadrada A de ordem 4. Quando multiplicamos cada coluna de A por um escalar m, o determinante escala como o produto desses fatores, ou seja,
\det(mA)=m^4\det(A).
Sabemos que \det(mA)=243 e \det(A)=3. Vamos usar essa relação para encontrar m.

Passo 2

Usando \det(mA)=m^4\det(A), temos
m^4\cdot3=243.
Logo,
m^4 = \frac{243}{3}=81.
Como m>0, tirando raiz quarta,
m = \sqrt[4]{81} = 3.

Passo 3

Agora construímos uma nova matriz B a partir de A multiplicando as duas primeiras colunas por 2m e as duas últimas por \tfrac1m. Pelo mesmo princípio de escala em determinantes,
\det(B)=\det(A)\times(2m)\times(2m)\times\frac1m\times\frac1m =\det(A)\,(2m)^2\,(1/m)^2.
Substituindo m=3,
(2m)^2\,(1/m)^2 = (2\cdot3)^2\cdot\bigl(\tfrac1{3}\bigr)^2 =6^2\cdot\tfrac1{9} =36\cdot\tfrac1{9} =4.
Portanto,
\det(B)=\det(A)\cdot4=3\cdot4=12.

Resposta

a) m=3
b) \det(B)=12

Exercícios relacionados