33 Se \left|\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right|=\frac{1}{2}, qual é o valor de:
a) \left|\begin{array}{ll}x & z \\\ y & w\end{array}\right|
b) \left|\begin{array}{ll}2 x & z \\\\ 2 y & w\end{array}\right|
c) \left|\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right|, quando z=x \in y=w ?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}x & y \\\ z & w\end{pmatrix}
com
\det(A)=\left|\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right|= \tfrac12.
O conteúdo aqui é a definição de determinante de matriz 2\times2
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad - bc,
e algumas de suas propriedades (como fator comum em coluna ou linha).

Passo 2

Para a letra (a), consideramos a matriz
B=\begin{pmatrix}x & z \\\ y & w\end{pmatrix}.
Pelo mesmo fórmula do determinante de 2\times2, temos
\det(B)=x\cdot w \;-\; z\cdot y
e isso é exatamente
xw - yz = \tfrac12.

Passo 3

Para (b), a matriz é
C=\begin{pmatrix}2x & z \\\\ 2y & w\end{pmatrix}.
Usando a fórmula,
\det\text{(C)} = (2x)\cdot w \;-\; z\cdot(2y) = 2(xw) - 2(yz) = 2\bigl(xw - yz\bigr).
Como xw - yz = \tfrac12, segue
\det\text{(C)}=2\cdot \tfrac12 = 1.

Passo 4

Para (c), impomos z=x e y=w na matriz original. Então
A'=\begin{pmatrix}x & y \\\ x & y\end{pmatrix}
e
\det(A')=x\cdot y \;-\; x\cdot y = 0.

Resposta

a) \tfrac12
b) 1
c) 0

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