32 Dentre cinco homens e cinco mulheres serão selecionadas x pessoas para formar uma equipe de trabalho. Qual é e menor valor possivel de x para que a probabilidade de serem escolhidas duas pessoas de mesmo sexo seja 100 \% ?

Passo 1

O enunciado diz que temos 5 homens e 5 mulheres, e vamos escolher x pessoas dessa população para formar uma equipe. Queremos que a probabilidade de haver pelo menos duas pessoas do mesmo sexo seja 100\%, ou seja, que seja impossível não ter duas do mesmo sexo. Para resolver, vamos usar o princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle).

Passo 2

Para que seja impossível evitar ter duas pessoas do mesmo sexo, devemos analisar o maior número de pessoas que podemos escolher sem ainda termos esse “par” do mesmo sexo. No pior caso, para não ter duas do mesmo sexo, poderíamos pegar exatamente uma mulher e um homem, totalizando 2 pessoas.

Passo 3

Se escolhermos mais uma pessoa além dessas duas, obrigatoriamente ela será ou homem ou mulher, formando então um segundo indivíduo desse sexo. Ou seja, ao escolher a terceira pessoa, não há como manter apenas uma de cada sexo.

Passo 4

Portanto, a menor quantidade x que garante com certeza (probabilidade 100\%) que exista um par do mesmo sexo é
x = 3.

Resposta

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