33 Um agricultor distribuiu sua colheita de tomates em 18 caixas, com pelo menos 120 e no máximo 136 tomates em cada caixa. Calcule a probabilidade de haver pelo menos duas dessas caixas com o mesmo número de tomates.

Passo 1

Temos 18 caixas e cada uma contém um número inteiro de tomates entre 120 e 136 inclusive. Isso significa que há
136 - 120 + 1 = 17
valores possíveis para o número de tomates em cada caixa. Queremos a probabilidade de que pelo menos duas caixas tenham o mesmo número de tomates.

Passo 2

Assumindo que cada distribuição de quantidades é igualmente provável, o espaço amostral (todas as atribuições possíveis) tem tamanho
|\Omega| = 17^{18},
pois, para cada uma das 18 caixas, há 17 escolhas de quantidade.

Passo 3

Considere o evento complementar ``todas as caixas têm quantidades distintas''. Para isso ocorrer, precisaríamos de 18 valores distintos, mas só existem 17 valores possíveis. Logo, não há nenhuma atribuição em que as 18 caixas sejam todas diferentes:
\text{nº de casos sem repetição} = 0.ºçã

Passo 4

A probabilidade do complementar (nenhuma repetição) é
P(\text{todas distintas}) = \frac{0}{17^{18}} = 0.
Portanto, a probabilidade de ocorrer pelo menos uma repetição (duas caixas com o mesmo número) é
1 - 0 = 1.

Resposta

A probabilidade é 1 (ou 100\%).

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