3 Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral equiprovável E, finito e não vazio, tal que P(A)=0,25, P(B)=0,08 e P(A \cup B)=k.
a) Determine o valor de k para que A e B sejam mutuamente exclusivos.
b) Determine o valor de k para que A e B sejam independentes.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B num espaço amostral equiprovável, com
\,P(A)=0,25, \,P(B)=0,08 e
\,P(A\cup B)=k.
O conteúdo aqui é probabilidade de união de eventos, usando a fórmula
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Para resolver, precisamos de duas situações:
– eventos mutuamente exclusivos ( P(A\cap B)=0),
– eventos independentes ( P(A\cap B)=P(A)\,P(B)).

Passo 2

Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, basta ter
P(A\cap B)=0.
Substituindo na fórmula da união,
k = P(A\cup B)=P(A)+P(B)-0 = 0,25 + 0,08 = 0,33.

Passo 3

Para que A e B sejam independentes, exige-se
P(A\cap B)=P(A)\,P(B)=0,25 \times 0,08 = 0,02.
Substituindo de novo na fórmula da união,
k = P(A\cup B)=0,25 + 0,08 - 0,02 = 0,31.

Resposta

a) k=0,33 (mutuamente exclusivos)
b) k=0,31 (independentes)

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