34 Em uma caixa foram misturadas n baterías de telefone celular: algumas perfeitas e outras defeituosas. Retirando ao acaso uma bateria dessa caixa, a probabilidade de ela ser perfeita é \frac{2 n-23}{21}, Calcule o menor e o maior valor possível de n.

Passo 1

O enunciado diz que, numa caixa com n baterias, sendo algumas perfeitas e outras defeituosas, a probabilidade de retirar uma perfeita ao acaso é
\frac{k}{n} = \frac{2n - 23}{21},
onde k é o número de baterias perfeitas. Vamos achar todos os n inteiros para os quais k também é inteiro, respeitando que há pelo menos uma perfeita e uma defeituosa.

Passo 2

Primeiro, a probabilidade deve estar entre 0 e 1, isto é,
0 \le \frac{2n-23}{21} \le 1.
Da primeira desigualdade vem 2n-23\ge0, logo n\ge12. Da segunda vem 2n-23\le21, logo n\le22. Concluímos
12 \le n \le 22.

Passo 3

Para que k seja inteiro, precisamos de
k = n\cdot\frac{2n-23}{21} \quad\text{inteiro} \quad\Longleftrightarrow\quad 21 \mid n\,(2n-23).
Testando n=12,13,\dots,22, só achamos divisibilidade por 21 em
n=15,\quad n=21,\quad n=22.

Passo 4

Para cada caso:
  • n=15 k=15\cdot\frac{30-23}{21}=5, com 1\le k\le n-1.
  • n=21 k=21\cdot\frac{42-23}{21}=19, com 1\le k\le n-1.
  • n=22 k=22\cdot\frac{44-23}{21}=22, mas aí não há bateria defeituosa, contrariando “algumas perfeitas e outras defeituosas”.
Portanto, descartamos n=22.

Resposta

O menor valor possível de n é 15 e o maior é 21.

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