2 Dois eventos, A e B, de um espaço amostral equiprovável E, finito e não vazio, são tais que:
P(A \cap B)=\frac{1}{2} e P(B / A)=\frac{4}{n-2}
a) Qual é o maior valor possível do número natural n ?
b) Qual é o menor valor possível do número natural n ?

Passo 1

O enunciado trata de dois eventos A e B num espaço amostral finito e equiprovável de tamanho n. Sabemos que
P(A\cap B)=\tfrac12
e
P(B\mid A)=\frac{4}{n-2}.
Como o espaço é equiprovável, cada resultado tem probabilidade 1/n, então para qualquer evento X vale
P(X)=\frac{|X|}{n}.
Vamos traduzir essas condições em equações envolvendo os cardinales |A|, |B| e |A\cap B|.

Passo 2

Da condição P(A\cap B)=\tfrac12 segue
|A\cap B|=n\cdot P(A\cap B)=n\cdot \tfrac12=\frac{n}{2}.
Como |A\cap B| é inteiro, \tfrac{n}{2} deve ser inteiro, logo n é par.

Passo 3

Da definição de probabilidade condicional temos
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)} \;\Longrightarrow\; \frac{4}{n-2} =\frac{\tfrac12}{P(A)} =\frac{\tfrac12}{|A|/n} =\frac{n}{2|A|}.
Isolando |A| vem
\frac{n}{2|A|}=\frac{4}{n-2} \quad\Longrightarrow\quad |A|=\frac{n(n-2)}{8}.
Novamente |A| deve ser inteiro, então n(n-2) é divisível por 8.

Passo 4

Temos ainda as desigualdades naturais
|A\cap B|\le |A|\le n \;\Longrightarrow\; \frac{n}{2}\le \frac{n(n-2)}{8}\le n.
A primeira \frac{n}{2}\le\frac{n(n-2)}{8} leva a
n(n-2)\ge 4n \;\Longrightarrow\; n^2-6n\ge0 \;\Longrightarrow\; n(n-6)\ge0 \;\Longrightarrow\; n\ge6.
A segunda \frac{n(n-2)}{8}\le n
n-2\le8 \;\Longrightarrow\; n\le10.
Portanto 6\le n\le10 e n é par, com n(n-2) divisível por 8.

Passo 5

Testando n pares entre 6 e 10:
  • Para n=6, 6\cdot4=24 é múltiplo de 8.
  • Para n=8, 8\cdot6=48 é múltiplo de 8.
  • Para n=10, 10\cdot8=80 é múltiplo de 8.
    Logo os únicos valores naturais possíveis são 6,8,10. Dessa lista, o maior é 10 e o menor é 6.

Resposta

(a) 10
(b) 6

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