Questão 4. Dados os vetores v=(1,-1,1), e w=(2,-3,4), determine:
a) A área do paralelogramo determinado por v e w ;(1,5 ponto )
b) O perímetro desse paralelogramo § e p[v times(2,3,-1)] ;(1,5 ponto)
c) As coordenadas dos vértices que determinam esse paralelogramo, sendo um vértice a origem. (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço: v = (1, -1, 1) e w = (2, -3, 4). O exercício pede para a gente descobrir três coisas:
a) A área do paralelogramo formado por esses vetores.
b) O perímetro desse paralelogramo e o produto do perímetro com o vetor v times (2,3,-1).
c) As coordenadas dos vértices desse paralelogramo, sabendo que um deles é a origem.
Vamos resolver passo a passo utilizando conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e propriedades de vetores no espaço.

Passo 2

a) Calculando a área do paralelogramo formado por v e w
A área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Área = |v times w| Á
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times w.
Dados:
v = (1, -1, 1)
w = (2, -3, 4)
O produto vetorial é calculado pela matriz determinante:
v times w = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & -3 & 4
Expandindo:
v times w = i((-1)(4) - (1)(-3)) - j((1)(4) - (1)(2)) + k((1)(-3) - (-1)(2))
= i(-4 + 3) - j(4 - 2) + k(-3 + 2)
= i(-1) - j(2) + k(-1)
= (-1, -2, -1)
Agora, vamos calcular o módulo desse vetor:
|v times w| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Então, a área do paralelogramo é raiz6 unidades de área.

Passo 3

b) Calculando o perímetro do paralelogramo e p[v times (2,3,-1)]
Primeiro, vamos encontrar o perímetro do paralelogramo. O perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados. Como um paralelogramo tem lados iguais em pares, precisamos encontrar o comprimento de v e de w e depois somar o dobro de cada um.
Comprimento de v:
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Comprimento de w:
|w| = raiz2^2 + (-3)^2 + 4^2 = raiz4 + 9 + 16 = raiz29
Perímetro:
p = 2|v| + 2|w| = 2raiz3 + 2raiz29
Agora, vamos calcular o produto p[v times (2,3,-1)].
Primeiro, calculamos o produto vetorial v times (2,3,-1).
v = (1, -1, 1)
u = (2, 3, -1)
Produto vetorial:
v times u = i & j & k 1 & -1 & 1 2 & 3 & -1
= i((-1)(-1) - (1)(3)) - j((1)(-1) - (1)(2)) + k((1)(3) - (-1)(2))
= i(1 - 3) - j(-1 - 2) + k(3 + 2)
= i(-2) - j(-3) + k(5)
= (-2, 3, 5)
Agora, multiplicamos o perímetro pelo vetor resultante:
p[v times u] = (2raiz3 + 2raiz29)(-2, 3, 5)
= (-4raiz3 - 4raiz29, 6raiz3 + 6raiz29, 10raiz3 + 10raiz29)

Passo 4

c) Encontrando as coordenadas dos vértices do paralelogramo com um vértice na origem
Sabemos que um dos vértices é a origem, que vamos chamar de O = (0, 0, 0). Os outros vértices podem ser obtidos adicionando os vetores v e w à origem e somando os dois vetores.
Vértice A:
A = v = (1, -1, 1)
Vértice B:
B = w = (2, -3, 4)
Vértice C (soma dos vetores v + w):
C = v + w = (1+2, -1+(-3), 1+4) = (3, -4, 5)
Então, os vértices do paralelogramo são:
O = (0, 0, 0)
A = (1, -1, 1)
B = (2, -3, 4)
C = (3, -4, 5)

Resposta

a) A área do paralelogramo é raiz6 unidades de área.
b) O perímetro do paralelogramo é 2raiz3 + 2raiz29 e p[v times (2,3,-1)] = (-4raiz3 - 4raiz29, 6raiz3 + 6raiz29, 10raiz3 + 10raiz29).
c) As coordenadas dos vértices são:
  • Origem: (0, 0, 0)
  • Vértice A: (1, -1, 1)
  • Vértice B: (2, -3, 4)
  • Vértice C: (3, -4, 5)

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