Questão 4. Dados os vetores , determine:
a) A área do paralelogramo determinado por ponto
b) O perímetro desse paralelogramo § e ponto)
c) As coordenadas dos vértices que determinam esse paralelogramo, sendo um vértice a origem. (1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço: e . O exercício pede para a gente descobrir três coisas:
a) A área do paralelogramo formado por esses vetores.
b) O perímetro desse paralelogramo e o produto do perímetro com o vetor .
c) As coordenadas dos vértices desse paralelogramo, sabendo que um deles é a origem.
Vamos resolver passo a passo utilizando conceitos de álgebra vetorial, como produto vetorial e propriedades de vetores no espaço.
Passo 2
a) Calculando a área do paralelogramo formado por e
A área de um paralelogramo formado por dois vetores é dada pelo módulo do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial .
Dados:
O produto vetorial é calculado pela matriz determinante:
Expandindo:
v times w = i((-1)(4) - (1)(-3)) - j((1)(4) - (1)(2)) + k((1)(-3) - (-1)(2))
Então, a área do paralelogramo é raiz6 unidades de área.
Passo 3
b) Calculando o perímetro do paralelogramo e p[v times (2,3,-1)]
Primeiro, vamos encontrar o perímetro do paralelogramo. O perímetro é a soma dos comprimentos de todos os lados. Como um paralelogramo tem lados iguais em pares, precisamos encontrar o comprimento de v e de w e depois somar o dobro de cada um.
c) Encontrando as coordenadas dos vértices do paralelogramo com um vértice na origem
Sabemos que um dos vértices é a origem, que vamos chamar de O = (0, 0, 0). Os outros vértices podem ser obtidos adicionando os vetores v e w à origem e somando os dois vetores.
Vértice A:
A = v = (1, -1, 1)
Vértice B:
B = w = (2, -3, 4)
Vértice C (soma dos vetores v + w):
C = v + w = (1+2, -1+(-3), 1+4) = (3, -4, 5)
Então, os vértices do paralelogramo são:
O = (0, 0, 0)
A = (1, -1, 1)
B = (2, -3, 4)
C = (3, -4, 5)
Resposta
a) A área do paralelogramo é raiz6 unidades de área.
b) O perímetro do paralelogramo é 2raiz3 + 2raiz29 e p[v times (2,3,-1)] = (-4raiz3 - 4raiz29, 6raiz3 + 6raiz29, 10raiz3 + 10raiz29).