3.32 Let z denote a function that is identically zero (i.e., z(t)=0 for all t ). Show that a linear system \mathcal{H} is invertible if and only if \mathcal{F}(x=z implies that x=z (i.e., the only input x that produces an output y=z is x=z ).

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que é dado (sem resolver ainda).
  • O enunciado dá a função zero z definida por z(t)=0 para todo t.
  • Pede para mostrar uma equivalência: uma sistema linear \mathcal{H} é invertível se e somente se a condição \mathcal{H}(x)=z \;\Longrightarrow\; x=zvaler, i.e., o único sinal de entrada que produz a saída zero é o sinal zero.
  • Informações relevantes fornecidas: \mathcal{H} é linear; z é o sinal zero. Não foram dadas restrições adicionais sobre domínios ou dimensões, por isso vou usar a definição padrão: existir um sistema inverso significa que existe um operador que, aplicado às saídas produzidas por \mathcal{H}, recupera unicamente a entrada original (isto é, existe um inverso bem-definido sobre a imagem de \mathcal{H}).

Passo 2

Definições e ideias que vou usar (explicadas devagar).
  • O sinal zero z satisfaz z(t)=0 para todo t. Em forma mais compacta, escrevemos simplesmente z.
  • Um sistema linear \mathcal{H} é linear, então para quaisquer sinais x_1,x_2 e escalares a,b vale \mathcal{H}(a x_1 + b x_2) = a\,\mathcal{H}(x_1) + b\,\mathcal{H}(x_2).Isso é importante porque permite trabalhar com núcleo/únicidade de soluções.
  • O núcleo (ou null space) de \mathcal{H} é o conjunto \ker(\mathcal{H}) = \{x \mid \mathcal{H}(x)=z\}.Dizer que "o único x com \mathcal{H}(x)=z é x=z" equivale a dizer \ker(\mathcal{H})=\{z\}.
  • Por invertível vou entender que existe um operador \mathcal{H}^{-1} definido sobre a imagem \mathrm{Im}(\mathcal{H}) tal que, para todo x, \mathcal{H}^{-1}\big(\mathcal{H}(x)\big)=x.Observação: essa definição exige que cada saída \mathcal{H}(x) corresponda a exatamente uma entrada x; isto é a propriedade de injetividade.

Passo 3

Provar a direção "se \mathcal{H} é invertível então \mathcal{H}(x)=z implica x=z".
  • Suponha que \mathcal{H} seja invertível, ou seja, existe \mathcal{H}^{-1} com \mathcal{H}^{-1}(\mathcal{H}(x))=x para todo x.
  • Tome qualquer x tal que \mathcal{H}(x)=z. Aplicando \mathcal{H}^{-1} em ambos os lados obtém-se \mathcal{H}^{-1}\big(\mathcal{H}(x)\big)=\mathcal{H}^{-1}(z).Pelo lado esquerdo isso é x, então x=\mathcal{H}^{-1}(z).
  • Mas \mathcal{H} é linear, então em particular \mathcal{H}(z)=z. Aplicando \mathcal{H}^{-1} a \mathcal{H}(z) \mathcal{H}^{-1}(\mathcal{H}(z))=z, ou seja, \mathcal{H}^{-1}(z)=z.
  • Portanto x=\mathcal{H}^{-1}(z)=z. Concluímos que qualquer x com \mathcal{H}(x)=z deve ser x=z. Logo \ker(\mathcal{H})=\{z\}.
  • Intuição: se existe inverso que recupera entradas, não pode haver duas entradas diferentes que gerem a mesma saída zero — caso contrário o inverso não seria bem-definido.

Passo 4

Provar a direção “se \mathcal{H}(x)=z implica x=z então \mathcal{H} é invertível” (construção do inverso).
  • A hipótese diz precisamente que \ker(\mathcal{H})=\{z\}, i.e., \mathcal{H} é injetiva: entradas diferentes dão saídas diferentes.
  • A partir da injetividade podemos definir um operador inverso \mathcal{H}^{-1} sobre a imagem \mathrm{Im}(\mathcal{H}) da seguinte forma: para cada y\in\mathrm{Im}(\mathcal{H}) existem sinais x tais que y=\mathcal{H}(x); pela injetividade esse x é único, então definimos \mathcal{H}^{-1}(y) = x \quad\text{quando } y=\mathcal{H}(x).Essa definição é bem-definida (não há ambiguidade) justamente graças à hipótese \ker(\mathcal{H})=\{z\}.
  • Com essa definição, para todo x tem-se \mathcal{H}^{-1}\big(\mathcal{H}(x)\big)=x,que é a propriedade de inverso requerida (pelo menos sobre a imagem de \mathcal{H}). Assim \mathcal{H} tem um inverso à esquerda definido em \mathrm{Im}(\mathcal{H}), i.e., é invertível no sentido de recuperar entradas a partir de saídas geradas por \mathcal{H}.
  • Comentário sobre surjetividade: não é necessário supor que \mathcal{H} seja sobrejetiva no codomínio inteiro; basta que exista inverso definido sobre a imagem de \mathcal{H}. Em muitos contextos de sistemas lineares essa é exatamente a noção de “sistema inversível”: cada saída realizável vem de uma única entrada.

Passo 5

Resumo lógico e conclusão didática (para gravar na prova).
  • Mostrar que \mathcal{H} invertível implica \ker(\mathcal{H})=\{z\} foi direto aplicando o inverso à igualdade \mathcal{H}(x)=z.
  • Mostrar que \ker(\mathcal{H})=\{z\} implica existência de inverso foi feito construindo explicitamente \mathcal{H}^{-1} sobre \mathrm{Im}(\mathcal{H}) usando unicidade da pré-imagem garantida pela hipótese.
  • Portanto, para um sistema linear, a condição “o único sinal que dá saída zero é o sinal zero” é exatamente a condição necessária e suficiente para existir um inverso bem-definido que recupere entradas a partir de saídas realizáveis.

Resposta

A linear system \mathcal{H} is invertible if and only if \ker(\mathcal{H})=\{z\}, equivalently \mathcal{H}(x)=z implies x=z.

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