3.32 Let
denote a function that is identically zero (i.e.,
for all
). Show that a linear system
is invertible if and only if
implies that
(i.e., the only input
that produces an output
is
).
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e o que é dado (sem resolver ainda).
- O enunciado dá a função zero
definida por para todo . - Pede para mostrar uma equivalência: uma sistema linear
é invertível se e somente se a condição valer, i.e., o único sinal de entrada que produz a saída zero é o sinal zero. - Informações relevantes fornecidas:
é linear; é o sinal zero. Não foram dadas restrições adicionais sobre domínios ou dimensões, por isso vou usar a definição padrão: existir um sistema inverso significa que existe um operador que, aplicado às saídas produzidas por , recupera unicamente a entrada original (isto é, existe um inverso bem-definido sobre a imagem de ).
Passo 2
Definições e ideias que vou usar (explicadas devagar).
- O sinal zero
satisfaz para todo . Em forma mais compacta, escrevemos simplesmente . - Um sistema linear
é linear, então para quaisquer sinais e escalares vale Isso é importante porque permite trabalhar com núcleo/únicidade de soluções. - O núcleo (ou null space) de
é o conjunto Dizer que "o único com é " equivale a dizer . - Por invertível vou entender que existe um operador
definido sobre a imagem tal que, para todo , Observação: essa definição exige que cada saída corresponda a exatamente uma entrada ; isto é a propriedade de injetividade.
Passo 3
Provar a direção "se
é invertível então
implica
".
- Suponha que
seja invertível, ou seja, existe com para todo . - Tome qualquer
tal que . Aplicando em ambos os lados obtém-se Pelo lado esquerdo isso é , então . - Mas
é linear, então em particular . Aplicando a dá , ou seja, . - Portanto
. Concluímos que qualquer com deve ser . Logo . - Intuição: se existe inverso que recupera entradas, não pode haver duas entradas diferentes que gerem a mesma saída zero — caso contrário o inverso não seria bem-definido.
Passo 4
Provar a direção “se
implica
então
é invertível” (construção do inverso).
- A hipótese diz precisamente que
, i.e., é injetiva: entradas diferentes dão saídas diferentes. - A partir da injetividade podemos definir um operador inverso
sobre a imagem da seguinte forma: para cada existem sinais tais que ; pela injetividade esse é único, então definimos Essa definição é bem-definida (não há ambiguidade) justamente graças à hipótese . - Com essa definição, para todo
tem-se que é a propriedade de inverso requerida (pelo menos sobre a imagem de ). Assim tem um inverso à esquerda definido em , i.e., é invertível no sentido de recuperar entradas a partir de saídas geradas por . - Comentário sobre surjetividade: não é necessário supor que
seja sobrejetiva no codomínio inteiro; basta que exista inverso definido sobre a imagem de . Em muitos contextos de sistemas lineares essa é exatamente a noção de “sistema inversível”: cada saída realizável vem de uma única entrada.
Passo 5
Resumo lógico e conclusão didática (para gravar na prova).
- Mostrar que
invertível implica foi direto aplicando o inverso à igualdade . - Mostrar que
implica existência de inverso foi feito construindo explicitamente sobre usando unicidade da pré-imagem garantida pela hipótese. - Portanto, para um sistema linear, a condição “o único sinal que dá saída zero é o sinal zero” é exatamente a condição necessária e suficiente para existir um inverso bem-definido que recupere entradas a partir de saídas realizáveis.
Resposta
A linear system
is invertible if and only if
, equivalently
implies
.