Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine o maior intervalo aberto possível em que a solução está definida.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=1+x+y^{2}+y^{2} x \\\ y(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y' = 1 + x + y^2 + x\,y^2,\\\ y(0)=0, \end{cases}
que podemos reescrever como
y' = (1 + x)\,(1 + y^2).
O método a usar é o de equações diferenciais separáveis.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{dy}{1+y^2} = (1 + x)\,dx.
Assim isolamos todos os termos com y de um lado e com x do outro.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{1+y^2} = \int (1 + x)\,dx \;\Longrightarrow\; \arctan(y) = x + \frac{x^2}{2} + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=0. Como \arctan(0)=0, temos
0 = 0 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 0.
Fica então
\arctan(y) = x + \frac{x^2}{2}.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução explícita
y(x) = \tan\!\Bigl(x + \tfrac{x^2}{2}\Bigr).

Passo 6

Para determinar o maior intervalo aberto em que esta solução está definida, lembramos que \tan(\theta) só é finita para
\theta \in \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Aqui \theta = x + \tfrac{x^2}{2}.
  1. A condição \theta > -\tfrac{\pi}{2} vale para todo x, pois a função x + x^2/2 atinge mínimo -\tfrac12 > -\tfrac{\pi}{2}.
  2. A condição \theta < \tfrac{\pi}{2} é
x + \frac{x^2}{2} < \frac{\pi}{2} \;\Longleftrightarrow\; x^2 + 2x - \pi < 0.
Resolvendo x^2 + 2x - \pi = 0 achamos
x = -1 \pm \sqrt{1 + \pi}.
Como o polinômio é positivo fora da região entre essas raízes, a desigualdade só vale para
-1 - \sqrt{1+\pi} \;<\; x \;<\; -1 + \sqrt{1+\pi}.

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = \tan\!\Bigl(x + \tfrac{x^2}{2}\Bigr)
e o maior intervalo aberto em que ela existe e é única (contendo x=0) é
\bigl(-1 - \sqrt{1+\pi},\,-1 + \sqrt{1+\pi}\bigr).

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