Em cada item a seguir, resolva o PVI e determine o maior intervalo aberto possível em que a solução está definida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
que podemos reescrever como
O método a usar é o de equações diferenciais separáveis.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
Assim isolamos todos os termos com
de um lado e com
do outro.
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Usamos a condição inicial
. Como
, temos
Fica então
Passo 5
Isolando
, obtemos a solução explícita
Passo 6
Para determinar o maior intervalo aberto em que esta solução está definida, lembramos que
só é finita para
Aqui
.
- A condição
vale para todo , pois a função atinge mínimo . - A condição
é
Resolvendo
achamos
Como o polinômio é positivo fora da região entre essas raízes, a desigualdade só vale para
Resposta
A solução do PVI é
e o maior intervalo aberto em que ela existe e é única (contendo
) é