32 Sejam
e
vetores dois a dois ortogonais, mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados os vetores
dois a dois ortogonais, vale
O conteúdo principal aqui é o produto escalar em
, usando que a norma ao quadrado satisfaz
, e a bilinearidade (distributiva) do produto escalar junto com a condição de ortogonalidade
quando
.
Passo 2
Aplicamos a definição de norma ao quadrado à soma dos vetores:
Passo 3
Usando a distributividade do produto escalar, expandimos:
Passo 4
Como
são dois a dois ortogonais, todos os produtos mistos somam zero:
Logo só ficam os termos
,
e
.
Passo 5
Reconhecendo que
, concluímos