32 Sejam e vetores dois a dois ortogonais, mostrar que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados os vetores u,v,w dois a dois ortogonais, vale
|u+v+w|^2 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2
O conteúdo principal aqui é o produto escalar em R^n, usando que a norma ao quadrado satisfaz |x|^2=xcdotx, e a bilinearidade (distributiva) do produto escalar junto com a condição de ortogonalidade ucdotv=0 quando uperpv.

Passo 2

Aplicamos a definição de norma ao quadrado à soma dos vetores:
|u+v+w|^2 = (u+v+w)cdot(u+v+w)

Passo 3

Usando a distributividade do produto escalar, expandimos:
(u+v+w)cdot(u+v+w) = ucdotu + ucdotv + ucdotw + vcdotu + vcdotv + vcdotw + wcdotu + wcdotv + wcdotw

Passo 4

Como u,v,w são dois a dois ortogonais, todos os produtos mistos somam zero:
ucdotv = ucdotw = vcdotw = 0
Logo só ficam os termos ucdotu, vcdotv e wcdotw.

Passo 5

Reconhecendo que xcdotx=|x|^2, concluímos
|u+v+w|^2 = ucdotu + vcdotv + wcdotw = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2

Resposta

|u+v+w|^2 = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2

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