Sejam alpha=u1, u2 e beta=v1, v2 bases ordenadas de V=R^2, tais que
u1=v1+2 v2 e u2=-2 v1+v2
Se u=u1-u2 encontre [u]beta

Passo 1

O enunciado trabalha mudança de base em V=R^2. Temos duas bases ordenadas
alpha=u1,u2 e beta=v1,v2 e as expressões de u1 e u2 em função de beta:
u1 = v1 + 2v2, u2 = -2v1 + v2
Pede-se o vetor [u]beta quando u = u1 - u2. Vamos usar a definição de coordenadas: se um vetor é combinação linear das bases de beta, seus coeficientes nessa combinação são precisamente suas coordenadas em beta.

Passo 2

Escrevemos u em termos de u1 e u2:
u = u1 - u2
Substituímos as expressões de u1 e u2 pelas coordenadas em beta.

Passo 3

Fazendo a substituição:
u = (v1 + 2v2) - (-2v1 + v2) = v1 + 2v2 + 2v1 - v2 = 3v1 + 1cdot v2

Passo 4

Como u = 3v1 + 1v2, suas coordenadas na base beta são os coeficientes dessa combinação:
[u]beta = 3 [6pt] 1 ]

Resposta

[u]beta = 3 1

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