Considere os seguintes subespaços vetoriais de R^3 :
V=[(1,1,0),(1,0,-1)] e W=(x, y, z) in R^3: x-y=0
Justifique se V+W é uma soma direta e exiba a sua dimensão.

Passo 1

O enunciado apresenta dois subespaços de :
O conteúdo é soma de subespaços, soma direta e fórmula de dimensão:
Precisamos verificar se (caso em que a soma seria direta) e calcular .

Passo 2

Vamos primeiro anotar as dimensões óbvias:
dim V=2, pois foi dado por duas vetores linearmente independentes,
dim W=2, pois a equação x-y=0 reduz uma dimensão em R^3.

Passo 3

Para achar , tome um vetor genérico de :
Ele está em se e somente se satisfaz , ou seja,
Logo e
Portanto
que tem dimensão , mostrando que a interseção é não trivial.

Passo 4

Como dim(Vcap W)=1, aplicamos
dim(V+W)=dim V+dim W-dim(Vcap W)=2+2-1=3

Resposta

Não é soma direta (porque Vcap Wneq0) e dim(V+W)=3.

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