Considere os seguintes subespaços vetoriais de
:
Justifique se
é uma soma direta e exiba a sua dimensão.
Passo 1
O enunciado apresenta dois subespaços de
:
O conteúdo é soma de subespaços, soma direta e fórmula de dimensão:
Precisamos verificar se
(caso em que a soma seria direta) e calcular
.
Passo 2
Vamos primeiro anotar as dimensões óbvias:
, pois foi dado por duas vetores linearmente independentes,
, pois a equação
reduz uma dimensão em
.
Passo 3
Para achar
, tome um vetor genérico de
:
Ele está em
se e somente se satisfaz
, ou seja,
Logo
e
Portanto
que tem dimensão
, mostrando que a interseção é não trivial.
Passo 4
Como
, aplicamos
Resposta
Não é soma direta (porque
) e
.