5.32 A substância Y funde a 200 K e
. Para o Y sólido,
para
e
para
. Para o Y líquido,
para
. (a) Expresse a
do Y líquido em termos das constantes
, l. (b) Expresse
do Y líquido em termos dessas constantes. Ignore a diferença entre as propriedades, a 1 atm e a 1 bar, do sólido e do líquido.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a substância Y (à pressão padrão): (a) a entropia molar padrão do líquido à
, isto é
do líquido; (b) a variação de entalpia molar do líquido entre
e
, isto é
.\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos para não perder nada):\n
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que temos para não perder nada):\n
- A fusão ocorre a
e com .\n - Para o sólido Y:
para .\n - Para o sólido Y:
para .\n - Para o líquido Y:
para .\n
Observação necessária para prosseguir (enunciado não dáabaixo de ): vou assumir que a contribuição de a para as integrais é negligenciável (prática comum: calor específico muito pequeno a temperaturas tão baixas, contribuição insignificante para e ). Se você preferir que eu use outra aproximação para , me avise depois, mas para este exercício seguirei essa suposição e seguirei com os dados dados.
Passo 2
Conceito e fórmulas-chave (rápida aula abusando do passo a passo, sem pular etapas):\n
- A partir da terceira lei, para um cristal perfeito
. A entropia a uma temperatura é obtida somando as contribuições de aquecimento e de eventuais transições de fase:\n
onde cada transição de fase irreversível (ou aqui, reversível) adiciona
à entropia.\n
- Para a entalpia, a variação entre duas temperaturas é a integral do calor específico (mais a entalpia de transição quando se atravessa uma mudança de fase):\n
Explico:
acumula o aquecimento dentro de uma fase; quando a substância funde, somamos
(sem divisão por
aqui — isso é entalpia, não entropia).\n
- No nosso caso, para obter
do líquido, vou integrar do sólido desde (efetivamente desde , pois negligenciamos 0–10) até , adicionar (entropia da fusão), e depois integrar do líquido de a .\n - Para
do líquido, sigo um caminho semelhante para entalpia: aquecer o sólido de a , somar , e aquecer o líquido de a .
Passo 3
Montagem da expressão para
do líquido (escrevo a soma de integrais, com as faixas dos
dadas):\n
Lembrete: a primeira integral
será desprezada (assumida ≈ 0) segundo a nossa hipótese. Vou então eliminar explicitamente essa parte nas contas seguintes.
Passo 4
Integral na faixa
a
(sólido com forma
).\n
Primeiro simplifico o integrando:
Primeiro simplifico o integrando:
Integral:
Portanto essa contribuição é
Passo 5
Integral na faixa
a
(sólido com forma
).\n
Divida cada termo por para
:
Divida cada termo por
Agora integro termo a termo:
Somando, a contribuição desta faixa é
Passo 6
Contribuição da fusão em
: a entropia adicionada pela fusão é
. Como
foi dada, temos
Substituindo o valor numérico, isso é
se você quiser colocar número; aqui manterei
simbólico para a resposta pedida.
Passo 7
Integral da faixa líquida
a
(líquido com forma
), para
:\n
Integrando termo a termo:
Somando, obtenho a contribuição do aquecimento do líquido de
a
.
Passo 8
Agora junto todas as contribuições para escrever a expressão final de
do líquido (lembrando que desprezei
). A soma é: integral
(Passo 4) + integral
(Passo 5) +
(Passo 6) + integral
(Passo 7). Escrevo o resultado completo:
Isto responde o item (a) em termos das constantes
(e de
que foi dada).
Passo 9
Agora vamos para
. Relembrando a ideia: entalpia acumulada = integrar
ao longo do caminho passando pela fusão (que soma
). Escrevo o caminho e as integrais (ignorando 0–10 conforme antes):
De novo, desprezarei explicitamente a primeira integral
.
Passo 10
Integral
para entalpia (sólido): antiderivadas diretas:
Passo 11
Integral
para entalpia (sólido):
Passo 12
Somar
(dado
).\n
Integral para entalpia (líquido):
Integral
Passo 13
Agora escrevo a expressão final combinada para
, reunindo os termos calculados:
Lembre que
se quiser inserir o número explícito.
Resposta
(a)
(b)