5.47 Para T=2000 \mathrm{~K}, alguns valores de -\left(G_{\mathrm{m}, T}^{\circ}-H_{\mathrm{m}, 298}^{\circ}\right) / T \mathrm{cm} \mathrm{J} /(\mathrm{mol} \mathrm{K}) são 161,94 para \mathrm{H}_{2}(g), 223,7 para \mathrm{N}_{2}(g) e 242,08 para \mathrm{NH}_{3}(\mathrm{~g}). Utilize esses dados e os do Apêndice para determinar \Delta_{f} G_{2000}^{\mathrm{o}} do \mathrm{NH}_{3}(g).

Passo 1

O enunciado pede para determinar \Delta_{f}G_{2000}^{\circ} do \mathrm{NH}_{3}(g) usando os dados fornecidos. As informações relevantes que temos são:
T=2000\\ \text{K},
os valores de
-\frac{G_{m,T}^{\circ}-H_{m,298}^{\circ}}{T}
para cada espécie, dados no enunciado:
-\frac{G_{m,T}^{\circ}-H_{m,298}^{\circ}}{T}(\mathrm{H}_2)=161{,}94,
-\frac{G_{m,T}^{\circ}-H_{m,298}^{\circ}}{T}(\mathrm{N}_2)=223{,}7,
-\frac{G_{m,T}^{\circ}-H_{m,298}^{\circ}}{T}(\mathrm{NH}_3)=242{,}08.
Também devo usar os dados do Apêndice; em particular vou precisar de \Delta_{f}H_{298}^{\circ}(\mathrm{NH}_3,g). Do Apêndice tomo
\Delta_{f}H_{298}^{\circ}(\mathrm{NH}_3,g) = -46{,}11\\ \text{kJ/mol}.
Observação: para os elementos na forma padrão (aqui \mathrm{H}_2(g) e \mathrm{N}_2(g)) temos
H_{m,298}^{\circ}(\mathrm{H}_2)=0,\qquad H_{m,298}^{\circ}(\mathrm{N}_2)=0.

Passo 2

Primeiro vamos manipular a relação dada para obter G_{m,T}^{\circ} em função de H_{m,298}^{\circ} e do número fornecido. Defina
x\equiv -\frac{G_{m,T}^{\circ}-H_{m,298}^{\circ}}{T}.
Isolando G_{m,T}^{\circ} obtemos:
-\frac{G_{m,T}^{\circ}-H_{m,298}^{\circ}}{T}=x
\Rightarrow G_{m,T}^{\circ}-H_{m,298}^{\circ}=-xT
\Rightarrow G_{m,T}^{\circ}=H_{m,298}^{\circ}-xT.
Explicação didática: G_{m,T}^{\circ} é a energia livre molar padrão à temperatura T; H_{m,298}^{\circ} é a entalpia molar padrão à 298\\ \text{K}. O valor x que nos deram é justamente a forma normalizada de como G a T difere de H a 298; multiplicando x por T e subtraindo de H_{m,298}^{\circ} obtemos G_{m,T}^{\circ}.

Passo 3

Escrevemos a reação de formação padrão por mol de \mathrm{NH}_3(g). A equação balanceada (por mol de \mathrm{NH}_3) é:
\frac{1}{2}\mathrm{N}_2(g)+\frac{3}{2}\mathrm{H}_2(g)\longrightarrow \mathrm{NH}_3(g).
Assim, a energia livre padrão de formação a T satisfaz:
\Delta_{f}G_{T}^{\circ}(\mathrm{NH}_3)=G_{m,T}^{\circ}(\mathrm{NH}_3)-\left[\tfrac{1}{2}G_{m,T}^{\circ}(\mathrm{N}_2)+\tfrac{3}{2}G_{m,T}^{\circ}(\mathrm{H}_2)\right].
Explicação: a energia livre de reação é a soma ponderada das energias livres dos produtos menos a soma ponderada dos reagentes (usando os coeficientes estequiométricos).

Passo 4

Vamos calcular G_{m,T}^{\circ} de cada espécie com a fórmula do Passo 2. Para \mathrm{H}_2 temos H_{m,298}^{\circ}=0 e x(\mathrm{H}_2)=161{,}94. Então
G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{H}_2)=0 - 161{,}94\times 2000.
Calcule passo a passo (em J/mol):
161{,}94\times 2000 = 323\,880\\ \text{J/mol},
portanto
G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{H}_2) = -323\,880\\ \text{J/mol} = -323{,}880\\ \text{J/mol}.
Em kJ/mol isso é
G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{H}_2) = -323{,}880\\ \text{J/mol}\;=\;-323{,}88\\ \text{kJ/mol}.

Passo 5

Para \mathrm{N}_2 temos H_{m,298}^{\circ}=0 e x(\mathrm{N}_2)=223{,}7. Então
G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{N}_2)=0 - 223{,}7\times 2000.
Calcule:
223{,}7\times 2000 = 447\,400\\ \text{J/mol},
G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{N}_2) = -447\,400\\ \text{J/mol} = -447{,}40\\ \text{kJ/mol}.

Passo 6

Para \mathrm{NH}_3(g) usamos x(\mathrm{NH}_3)=242{,}08 e H_{m,298}^{\circ}(\mathrm{NH}_3)=\Delta_{f}H_{298}^{\circ}(\mathrm{NH}_3)=-46{,}11\\ \text{kJ/mol} (valor tomado do Apêndice). Convertendo para joules:
H_{m,298}^{\circ}(\mathrm{NH}_3) = -46{,}11\\ \text{kJ/mol} = -46{,}11\times 10^{3}\\ \text{J/mol} = -46\,110\\ \text{J/mol}.
Agora aplicamos a fórmula:
G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{NH}_3)=H_{m,298}^{\circ}(\mathrm{NH}_3)-x(\mathrm{NH}_3)\times 2000.
Calcule x\times 2000:
242{,}08\times 2000 = 484\,160\\ \text{J/mol}.
Então
G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{NH}_3) = -46\,110 - 484\,160 = -530\,270\\ \text{J/mol}.
Em kJ/mol:
G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{NH}_3) = -530{,}27\\ \text{kJ/mol}.

Passo 7

Agora calculamos a combinação estequiométrica dos reagentes:
\tfrac{1}{2}G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{N}_2)+\tfrac{3}{2}G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{H}_2).
Substituindo os valores em J/mol:
\tfrac{1}{2}(-447\,400)+\tfrac{3}{2}(-323\,880).
Calcule cada termo:
\tfrac{1}{2}(-447\,400) = -223\,700\\ \text{J/mol},
\tfrac{3}{2}(-323\,880) = 1{,}5\times(-323\,880) = -485\,820\\ \text{J/mol}.
Somando:
-223\,700 + (-485\,820) = -709\,520\\ \text{J/mol}.

Passo 8

Finalmente aplicamos a expressão da formação (Passo 3):
\Delta_{f}G_{2000}^{\circ}(\mathrm{NH}_3)=G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{NH}_3)-\left[\tfrac{1}{2}G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{N}_2)+\tfrac{3}{2}G_{m,2000}^{\circ}(\mathrm{H}_2)\right].
Substituindo os números em J/mol:
\Delta_{f}G_{2000}^{\circ}(\mathrm{NH}_3) = -530\,270 - (-709\,520).
\Delta_{f}G_{2000}^{\circ}(\mathrm{NH}_3) = -530\,270 + 709\,520 = 179\,250\\ \text{J/mol}.
Convertendo para kJ/mol:
\Delta_{f}G_{2000}^{\circ}(\mathrm{NH}_3) = 179{,}25\\ \text{kJ/mol}.
Interpretação curta: o valor positivo indica que, à 2000\\ \text{K}, a formação de \mathrm{NH}_3 a partir dos elementos não é espontânea nas condições padrão — isto é, a decomposição é favorecida.

Resposta

\Delta_{f}G_{2000}^{\circ}(\mathrm{NH}_3)=179{,}25\\ \text{kJ/mol}

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