O ânion diidrogenofosfato \left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{PO}_{4}^{-}\right)tem K_{\mathrm{a}}=6,17 \times 10^{-8}. Qual é o pH de uma solução tampão com \left[\mathrm{H}_{2} \mathrm{PO}_{4}{ }^{-}\right]=0,38 \mathrm{moL} \mathrm{L}{ }^{-1} \mathrm{e}\left[\mathrm{HPO}_{4}{ }^{2-}\right]=0,67 \mathrm{moL} \mathrm{L}{ }^{-1} ?

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução tampão. As informações fornecidas são:
K_a = 6,17\times10^{-8},
\left[\mathrm{H}_2\mathrm{PO}_4^{-}\right] = 0,38\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}},
\left[\mathrm{HPO}_4^{2-}\right] = 0,67\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
As quantidades dadas são concentrações em mol L^{-1}. O objetivo final é calcular o pH numérico dessa solução tampão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação que liga K_a ao pH num tampão ácido/conjugada-base. Para um ácido genérico \mathrm{HA} que se ioniza:
\mathrm{HA} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{A}^-,
a constante de acidez é
K_a = \frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.
Rearranjando para [\mathrm{H}^+] obtemos
[\mathrm{H}^+] = K_a\frac{[\mathrm{HA}]}{[\mathrm{A}^-]}.
Tomando -\log_{10} em ambos os lados (definição de pH e pKa), lembrando que \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^+] e \mathrm{p}K_a=-\log_{10}K_a, chega-se à equação de Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}\right).
Aqui explico cada símbolo:
  • \mathrm{pH} é o que queremos.
  • \mathrm{p}K_a é -\log_{10}K_a.
  • [\mathrm{A}^-] é a concentração da base conjugada.
  • [\mathrm{HA}] é a concentração do ácido conjugado.

Passo 3

Identificamos qual espécie é o ácido e qual é a base conjugada no problema:
\mathrm{H}_2\mathrm{PO}_4^{-}\;\text{é o ácido conjugado (}\mathrm{HA}\text{)},éá
\mathrm{HPO}_4^{2-}\;\text{é a base conjugada (}\mathrm{A}^-\text{)}.é
Portanto, na fórmula de Henderson–Hasselbalch usamos
[\mathrm{HA}] = 0,38\quad\text{e}\quad[\mathrm{A}^-] = 0,67.

Passo 4

Calculamos \mathrm{p}K_a a partir de K_a. Usamos:
\mathrm{p}K_a = -\log_{10}\!\left(K_a\right) = -\log_{10}\!\left(6,17\times10^{-8}\right).
Para calcular o logaritmo, lembramos que \log_{10}(a\times10^{b})=\log_{10}a + b. Assim
\log_{10}\!\left(6,17\times10^{-8}\right) = \log_{10}(6,17) - 8.
Aproximando \log_{10}(6,17)\approx 0,790, obtemos
\log_{10}\!\left(6,17\times10^{-8}\right) \approx 0,790 - 8 = -7,210.
Portanto
\mathrm{p}K_a = -(-7,210) = 7,210.

Passo 5

Agora calculamos o termo do logaritmo da razão de concentrações:
\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]} = \frac{0,67}{0,38}.
Fazendo a divisão:
\frac{0,67}{0,38} \approx 1,7631579 \approx 1,763.
Precisamos de \log_{10}(1,763). Uma forma didática é usar \log_{10}(a/b)=\log_{10}a-\log_{10}b; aqui calculei diretamente os logs aproximados:
\log_{10}(0,67) \approx -0,173926,\qquad \log_{10}(0,38)\approx -0,420216,
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\log_{10}\!\left(\frac{0,67}{0,38}\right) = -0,173926 - (-0,420216) \approx 0,24629.
Arredondando, usamos \log_{10}\!\left(\dfrac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}\right)\approx 0,246.

Passo 6

Finalmente aplicamos a equação de Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}\right).
Substituindo os valores calculados:
\mathrm{pH} \approx 7,210 + 0,246 = 7,456.
Arredondando o resultado a duas casas decimais (precisão compatível com os dados), obtemos
\mathrm{pH} \approx 7,46.

Resposta

7,46

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