[32] Usando a regra da cadeia para
calcule
:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
para a função de duas variáveis e as composições dadas. Mais precisamente:
Passo 2
Conteúdo a usar: derivadas parciais e regra da cadeia.
Passo 3
Vamos primeiro achar as derivadas parciais de
. Como
, temos:
Esse resultado vem de derivar
em relação a
e
em relação a
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de
e
:
Agora substituímos
e
.
Passo 6
Fazendo a substituição e simplificando:
E usando a identidade
, chegamos a: