[32] Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) calcule d zd t :
z=x^2+2 y^2, x=sen(t), y=cos (t)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de dfracdzdt para a função de duas variáveis e as composições dadas. Mais precisamente:

Passo 2

z = x^2 + 2y^2
x = sin t, y = cos t
Conteúdo a usar: derivadas parciais e regra da cadeia.

Passo 3

Vamos primeiro achar as derivadas parciais de z. Como z = x^2 + 2y^2, temos:
partial zpartial x = 2x
partial zpartial y = 4y
Esse resultado vem de derivar x^2 em relação a x e 2y^2 em relação a y.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = ddt(sin t) = cos t
dydt = ddt(cos t) = -sin t

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
dzdt = partial zpartial xcdotdxdt + partial zpartial ycdotdydt
Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x e y:
dzdt = (2x)(cos t) + (4y)(-sin t)
Agora substituímos x=sin t e y=cos t.

Passo 6

Fazendo a substituição e simplificando:
dzdt = 2sin tcos t - 4cos tsin t = -2sin tcos t
E usando a identidade 2sin tcos t = sin(2t), chegamos a:

Passo 7

-2sin tcos t = -sin(2t)

Resposta

-sin(2t)

Exercícios relacionados