lim x 0 xe^x-cos (x)

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto 0xe^x - cos x. O conteúdo envolve limites de funções e, em especial, indeterminações do tipo 0/0, para o qual podemos usar a regra de L’Hôpital ou expansão em séries de Taylor.

Passo 2

Vamos primeiro verificar o tipo de indeterminação. Avaliando diretamente em x=0:
numerador = 0, denominador = e^0 - cos0 = 1 - 1 = 0,
logo temos uma forma 0/0. Então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, vamos derivar numerador e denominador separadamente:
ddx[x] = 1, ddx[e^x - cos x] = e^x + sin x

Passo 4

O limite original passa a ser o limite do quociente das derivadas:
limxto 01e^x + sin x

Passo 5

Agora basta substituir x = 0 no denominador:
e^0 + sin0 = 1 + 0 = 1
Portanto o limite é 1/1 = 1.

Resposta

1

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