lim x infty e^2 xx^3+x^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxtoinfty e^2xx^3 + x^2. O tema é limites no infinito, e vamos precisar usar a comparação de crescimento entre exponenciais e polinômios e a regra de L’Hôpital para formas infty/infty.

Passo 2

Para grandes x, tanto o numerador e^2x quanto o denominador x^3+x^2 tendem a +infty, configurando uma indeterminação infty/infty. Assim, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que diz que
limxtoinfty f(x)g(x) = limxtoinfty f'(x)g'(x)
quando f(x) e g(x) tendem a infinito.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital três vezes seguidas até que o denominador vire constante:
  1. 1ª aplicação:
ddx[e^2x] = 2e^2x, ddx[x^3 + x^2] = 3x^2 + 2x
fica
2e^2x3x^2+2x
  1. 2ª aplicação:
ddx[2e^2x] = 4e^2x, ddx[3x^2+2x] = 6x+2
fica
4e^2x6x+2
  1. 3ª aplicação:
ddx[4e^2x] = 8e^2x, ddx[6x+2] = 6
fica
8e^2x6 = 43e^2x

Passo 4

Agora, 43e^2x tende a +infty quando xtoinfty, e por consequência o limite original também diverge para +infty.

Resposta

(+\infty)

Exercícios relacionados